第二章_一元二次方程单元教学设计 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

“一元二次方程”单元教学分析 1 本单元的知识发展主线 1.1 课标要求 1) 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数宇系数的一元二次方程。 2) 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。 3) 了解一元二次方程的根与系数的关系。 4) 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。 1.2 知识结构图 1.3 涉及的数学思想方法（举例说明） 1. 方程思想 x2+4x+3=0 x2−5x+6=0 5x2−6x+3=0 2. 转化思想 转化也称化归，是数学中最常用的思想方法。转化思想的实质就是 未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具 把非常规化为常规，从而解决各种问题。 解方程，你想到了哪些方法？ 答案：（配方法、公式法、因式分解法、换元法）。 问题可以运用多种解法求解，每一种解法都渗透了降次的基本思想， 即将一元二次方程转化为一元一次方程。 3. 分类讨论思想方法 在涉及到含有字母系数的一元二次方程时，经常要用到分类讨论思想。 关于x的方程当a为何值时该方程是一元 二次方 程？当a为何值时该方程是一元一次方程？ 答案：有一元二次方程和一元一次方程的概念，当时，该方程 是一元二次方程，而当，该方程是一元一次方程。 1.4相关的数学核心概念（举例说明） 1. 建模思想 数学建模是指对实际问题进行抽象、简化、建立数 学模型，并求解、验证的过程。A B C D E F G H 例：在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样 宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵 向互相垂直)，把 这块耕地分成大小相等的六块 试验田，要使试验田 的面积是570平方米，问道路应该多宽? 解：设路宽为x米，则两条纵路面积为2•x•20=40x(米2)，一条横路所占 的面积为32x(米2). 纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积，所以三 条路所占耕地面积应当是(40x+32x-2x2)米2，根据题意可列出方程 32×20-(40x+32x-2x2)=570. 整理，得x2-36x+35=0. 解方程，得x1=1，x2=35. 2. 运算能力 对于有些题，只能用公式法计算，计算量较大 3. 应用意识 从幼儿园铺设地毯这个问题结合已知条件：教室地面长为8米，宽为5米，铺设 的地毯是18平方米，想求哪些量？让学生形成问题意识，并依据这些条件列出数学算式，培养学生的分析能力，激发抽象性思维，以此为引入一元二次方程的概念做好铺垫。 2 数学的联系与应用 2.1数学史与数学文化 1. 公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。古埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程。 2. 大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。《九章算术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于x2+34x-71000=0的正根而解决的。 3. 公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。 4. 公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在。 5. 法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。 2.2数学与现实生活的联系 例： 有一人患了新冠，经过两轮传染后共有121人患了新冠，每轮传染中平均 一个人传染了几个人？ 设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一人患了新冠，第一轮的 传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有1＋x人 患 了新冠；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示， 第二轮后共有x(1＋x)人患了新冠．于是可以得到方程1＋x＋x(1＋x)＝121． 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得 1＋x＋x(1＋x)＝121. 解方程，得 x1＝10，x2＝－12. 经检验知x＝－12不合题意，故舍去. 所以每轮传染中平均一个人传染了10个人． 紧跟实事，让同学们体会到数学在我们生活中的运用。 2.3数学与其它学科的联系 一元二次方程作为初中数学代数里重要内容之一，在中考数学中一直占有重要的地位。中考数学会考查一元二次方程及其相关概念、一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法），运用一元二次方程去解决实际生活当中的问题等应用题，这些都是中考的常考考点。 同时，我们也要充分认识到，学好一元二次方程，可以为以后学好一元二次不等式、指数方程、对数方程、三角方