第一章 三角形的证明 单元教学设计 2022-2023学年人教版八年级数学下册

“三角形的证明”单元教学分析 1 本单元的知识发展主线 1.1 课标要求 1. 经历探索、证明等腰三角形和直角三角形等图形性质与判定的过程，进一步发展推理能力。 2. 能证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 3. 掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 4. 探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 5. 能证明线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理。 1.2 知识结构图 1.3 涉及的数学思想方法（举例说明） 1. 分类思想：等腰三角形中的腰与底角的确定。 直角三角形中的斜边的确定。 2. 数形结合：等腰三角形中的腰与底角的确定 1.4 相关的数学核心素养（举例说明） 1. 推理能力：通过已知的全等知识推导出三角形的一些性质。 2. 运算能力：在已知条件边长角度的条件下根据三角形的特殊性质求边长、高以及其他值的运算。 3. 应用意识：通过所学知识，运用到练习题中以及实际生活中。 2 数学的联系与应用 2.1 数学史与数学文化 1. 有关三角形的故事古代 欧几里德几何三角形的内角和是180度，但是非欧几里德三角形内角和不是180度，有一个数学家证明了，某种三角形内角和是大于180度的，这种三角形不是一个平面上的，比如地球这个曲面。这个科学家就是罗巴切夫斯基，他成功的用反证法证明了自己的理论。非欧几何这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞誉，反而遭到种种歪曲、非议和攻击。但罗巴切夫斯基从未动摇过新几何远大前途的坚定信念，直到在郁闷中死去。历史是公允的。1868年，长期无人过问的 非欧几何开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的研究也就因此得到学术界的高度评价和赞美。 2. 关于三角形的数学史 三角学简称三角，包括平面三角和球面三角。 传统的三角学以研究平面三角形和球面三角形的边角关系为基础，达到测量上的应用目的，我国中学数学课程现已包含平面三角和球面几何。三角学起源于对三角形边角关系的定量考察，这始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，因此在相当长的一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中利用了当时已经积累得相当丰富的算术、几何（包括球面几何）和天文知识。鉴于此种原因，作为独立的数学分支前，它的贡献者主要是一些天文学家，如印度的阿耶婆多、阿拉伯的尔。坦尼（Al-Batbani）、纳速拉丁等人。13世纪起，含于天文学中的三角知识传入欧洲，并在欧洲出现新的发展。“三角”这一名称最早见之于1653年薛凤祚和穆尼阁合著的《三角算法》。“三角”一词指“三角学”或“三角法”或“三角术”。事实上，直到1956年中国科学院编译出版委员会编订《数学名词》时，仍将这三者同义。现在“三角术”和“三角法”已不常用。三角学的现代发展已经结束，随着现代数学的综合性趋势加强，其中的一些内容已分属于数学的其他学科，如三角函数可归于分析学，三角测量可归于几何学，三角函数式的恒等变形可归于代数学。从这个意义上说，作为独立的数学分科的三角学已渐渐消失，但作为刻画周期性现象的三角函数，仍然发挥着巨大的作用。 2.2 数学与现实生活的联系 1. 等腰三角形与现实生活中的联系：日常生活中的人们所使用的衣架是标准的等腰三角形。三角形在形状方面最具有稳定性，同时在制作材料的使用上也是最节约材料的，在满足以上条件的情况下，为了美观设置成了对称的等腰三角形。埃菲尔铁塔、金字塔也是标准的等腰三角形，埃菲尔铁塔的结构的流线完全是按照他的受力弯矩图来的，设置为等腰三角形使得受力均匀并结构稳定。 2. 直角三角形与现实生活中的联系：圆锥的形成是一个直角三角形绕着其中一条直角边进行旋转得到的，直角三角形通过变换不再是一个孤零零的三角形，它能与其他事物联系起来。数字4中也蕴含着直角三角形，农村及古典民居中通常用木料架房，人字梁就是富含直角三角形的木架。直角三角形存在于世界每个地方，只要我们善于去观察。 3. 线段的垂直平分线与现实生活中的联系：宗教信仰的十字架，一条边是另一条线段的垂直平分线，因此汉字十也可以是线段的垂直平分线。 4. 角平分线与现实生活中的联系：在现实生活中的反射现象中的法线就是角平分线。除此之外，正方形的对角线也是直角的角平分线。 2.3 数学与其它学科的联系 1. 三角形的证明与天文学的联系：早期的三角形不是独立的一门学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法。 2. 三角形的证明与物理学的联系：在物理学的解题过程中，常常在受力分析的解题时会构建三角形，运用矢量三角形的知识，计算出合力方向以及合力大小。 3. 三角形的证明与化学的联系：在化学中，各种物质的微分结构中可以看成是三角形，例如：h2o的微分结构就可以看做一个