第五章_分式与分式方程 单元教学设计 2022-2023学年北师大版八年级数学下册

“分式与分式方程”单元教学分析 1 本单元的知识发展主线 1.1 课标要求 （1） 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分，能进行简单的分式加减乘除运算。 （2） 能根据具体问题中的数量关系，列出分式方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 （3） 会解可化为一元一次方程的分式方程。 （4） 可以根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。 1.2 知识结构图 1.3 涉及的数学思想方法（举例说明） （1） 类比思想：这一章的知识一般情况下都要通过类比才可以发现新旧知识的相同点,利用已有的知识来认识新知。由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类比引入学习分式的相关知识;从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧,无不体现类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程学习. 例如：化简: 分析：解决此类问题,可以类比分数的约分,这样只要先要对分子与分母分别分解因式,再约去公因式。 （2） 整体思想：在解答分式题中,适当运用整体思想,会使问题巧妙解决。分式化简求值中经常运用整体代换法一一整体代换是指在解决某些问题时,把一些组合式子视作一个“整体”,并把这个“整体”直接代入另一个式子,从而可避免局部运算的麻烦和困难。有些问题,从表面上看需要局部求出各有关量,但实质上若从整体上把握这些量之间的关系,则思路更为明朗,解法更为巧妙。 例如：先化简,再求值: ，其中，a满足 分析：从表面看本题是一道常规的化简求值题,其常规解法就是先化简所给的式子,然后求出 a 的取值,最后,代入求值即可。但当我们将所给式子进行化简后,发现有 a^2到a这样一个整体,此时就可以不求a的值整体带入即可。 （3） 转化思想：分式学习的过程中,我们可以发现多次运用了转化的思想。如分式的除法转化为分式乘法;异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法;分式方程转化为整式方程等等。 例如：化简:  分析：将除法转化为乘法,同时对多项式进行因式分解后再约分。 （4） 建模思想：在分式运算及解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过模型去解决实际问题。经历“实际问题---分式方程模----求解---解释解的合理性”的“数学化”过程,体会分式方程模型的思想。 例如：某地地震受灾地区急需大量赈灾帐篷,某帐篷生产企业接到生产任务后,加大生产投入、提高生产效率,实际每天生产帐篷比原计划多200顶,已知现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同.现在该企业每天能生产多少顶帐篷? 分析：分析题目，设未知数，建立合适的分式方程模，进行求解。 1.4 相关的数学核心概念（举例说明） （1） 符号意识：这堂课要求学生学习之后能够理解运用符号来表示数量关系和变规规律，通过分号列出分式方程。同时本堂课的易错点：含有特殊符号的分式的判断，需要老师在教学中着重提醒。 例如：判断下列式子是否是分式 分析：虽然分号下面含有符号，但是符号π代表数，不代表未知数，所以不是分式。 （2） 运算能力：希望学生通过学习能对分式方程化简求解并找到简洁的运算途径解决问题。 例如：化简:  分析：将除法转化为乘法,同时对多项式进行因式分解后再约分，这种方法可以减少运算量 （3） 应用意识：学生要能够解决分式方程的实际运用问题，理解分式方程与现实生活实际的联系。 例如：一队学生去校外徒步参观,他们出发30分钟时,学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍,若骑车的速度是队伍行进速度的2倍,这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米,问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间? 分析：同学根据题意,找出题目中的等量关系，设未知数，列出方程，对问题进行解答。 2 数学的联系与应用 2.1 数学史与数学文化 在东西方数学文献中,分式方程都出现得较晚。9世纪阿拉伯数学家花拉子米在《代数学》冲提出了若干涉及分式方程的问题,如“将10分成两部分,第一部分除以第二部分,第二部分除以第一部分,商的和是二又六分之一” 13世纪,意大利数学家斐波那契在《计算之书》中列举了许多用分式方程求解的问题,其中部分问题源于花拉子米。例如将10分成两部分,将10除以其中一部分,所得商乘以另一部分,得二十又四分之一。斐波纳契解分式方程的方法很灵活,包括“直接化整法”、“换元法”、“恒等式法”和“几何代数法”四种。其中,几何代数法在今日已经很少为人所用。 13世纪之后至18世纪中叶以前,很少有数学家关注分式方程。在沃利斯、麦克劳林、欧拉等数学家的代效学著作中,都没有分式方程的影子。美国学者曼宁检索了18世纪末到19世纪中叶的1000多种初等和高等代数论著,发现1850年以前的绝大多数论著均未涉及分式方程,一些