第5章 一元一次方程 大单元设计 2023-2024学年北师大版七年级数学上册

“一元一次方程”单元教学分析 1 本单元的知识发展主线 1.1课标要求 （1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； （2）掌握等式的基本性质； （3）能解一元一次方程。 1.2知识结构图 本单元的知识结构如图，根据实际问题，设未知数，列方程，得到一元一次方程，根据5个一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类和未知数系数化为1解方程，得到数学问题的解，检验得到实际问题的答案。 1.3涉及的数学思想方法（举例说明） （1） 方程思想 从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程来使问题获解。 例题：某制药厂制造一批药品，如果用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如果用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100 t。新旧工艺的废水排量之比为2 ：5，两种工艺的废水排量各是多少？ 解：若设新工艺的废水排量为5x吨，则旧工艺的废水排量为2吨。 由题意得到的等量关系：旧工艺废水排量－200吨=新工艺排水量+100吨 可列方程为： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 所以， 答：新工艺的废水排量为200吨，则旧工艺的废水排量为 500 吨。 （2） 数形结合 借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的。 例题：小明和小刚每天早晨坚持跑步，小明每秒跑4米，小刚每秒跑6米.若小明站在百米起点处，小刚站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明追上小刚？ 解：设小明秒后追上小刚。 可得方程： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1,得 答：小明5秒后追上小刚。 （3） 转化思想 将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为已知知识范围内已经解决或容易解决的问题。 例题：解方程 解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 1.4 相关的十个核心概念（举例说明） （1）运算能力 指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力.培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 例题：解方程： 解：移项，得     合并同类项，得 系数化为1，得 （2） 模型思想 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 例题：把一批图书分给七年级某班的同学阅读，若每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，则缺25本，这个班有多少学生？ 解：设这个班有个学生 根据题意,得 移项,得 合并同类项,得 系数化成1,得    答：这个班有45人。 2 数学的联系与应用 2.1 数学史与数学文化 一元一次方程溯源： 一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。 约公元前1650年，古埃及的莱因德纸草书中记载了第24题，题目为：“一个量，加上它的等于19，求这个量。”解决了形为的一次方程，即单假设法解决问题。 公元前1世纪左右，中国人在《九章算术》中首次加入了负数，并提出了正负数的运算法则，解决了移项问题。在“盈不足”一章中提出了盈不足术。但该方法并没有被用来解决一元一次方程。在11～13世纪时传入阿拉伯地区，并被称为“契丹算法”。 9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在《对消与还原》中给出了解方程的简单可行的基本方法，即“还原”和“对消”。但没有采用字母符号。体现了明显的方程的思想。 12世纪，印度数学家婆什迦罗在《丽拉沃蒂》一书中用假设法（设未知数）来解决一类一元一次方程。由于所假设的数可以是任意正数，婆什迦罗称上述方法为“任意数算法”。 13世纪，中国的盈不足术传入欧洲，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中利用单假设和双假设法来解一元一次方程。 16世纪时，韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题，也创立了这一概念，被尊称为“现代数学之父”。但是韦达没有接受负数。 16世纪时，明代数学家程大位（1533-1606）在《算法统宗》一书中也用假设法来解一元一次方程。 1859年，中国数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。 一元一次方程的数学文化内涵: 一元一次方程的数学文化内涵可这样思考: 以一元一次方程的概念为数学文化的显性载体，在其显性载体的背后承载着丰富的隐性内涵，即方程作为人类思想的一次飞跃，是继算术思想之后的又一重要的数学思想，折射出人类的智慧; 方程在其历史发展过程中呈现多元文化特征; 方程体现了符号化的思