第04讲 二次根式（第1课时 定义与性质，8类热点题型讲练)-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第2章第04讲 二次根式（第1课时 定义与性质） 1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围； 2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简； 3.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简. 知识点01 二次根式的相关概念 1.二次根式的定义：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点02 二次根式的性质 二次根式的性质： ① ， （双重非负性） 知识点03 二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则及逆用：； 二次根式的除法法则及逆用：； 二次根式的乘法法则的推广： ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 题型01 二次根式有意义的条件 【典例1】（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由在实数范围内有意义，列不等式，再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键． 【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中）若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 【变式2】（2023春·江苏·八年级期末）使得有意义的x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 题型02 求二次根式的值 【典例1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】直接把的值代入进而得出答案． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 【变式1】（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）当时，二次根式的值为 ． 【答案】1 【分析】直接将代入进行计算即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单． 【变式2】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）当时，二次根式的值为 ． 【答案】1 【分析】直接把代入中进行求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，求算术平方根，正确计算是解题的关键． 题型03 求二次根式中的参数 【典例1】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ． 【答案】3 【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案． 【详解】解：由二次根式的定义可得， 解得：， 是一个正整数， 或4或9， 解得：或8或3， 的最小正整数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键． 【变式1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）若为整数，则x的最小正整数值为 ． 【答案】2 【分析】对被开方数进行分解，得，要使为整，则最小要保证被开方式能开尽，得出答案． 【详解】解： 的最小正整数值是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，其中对被开方数的分解是解决本题的关键． 【变式2】（2022秋·八年级单元测试）是整数，则正数的最小值是 【答案】/0.05 【分析】根据是整数，n为正数，得出的最小值为1，得出的最小值为，即可求出答案． 【详解】解：∵是整数，n为正数， ∴的最小值为1， ∴的最小值为， ∴正数的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 题型04 利用二次根式的性质化简 【典例1】（2023春·新疆塔城·八年级校考期末） ；