3.3.1抛物线及其标准方程 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习 一、单选题 1．抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．方程表示的曲线是（    ） A．两条射线 B．抛物线和一条线段 C．抛物线和一条直线 D．抛物线和两条射线 5．抛物线的焦点为F，点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．2 D． 6．在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 8．抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（    ） A． B． C． D． 11．若抛物线上一点到焦点的距离为m，则（    ） A． B． C． D． 12．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是 . 14．已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 . 15．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为 . 16．为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ． 四、解答题 17．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程： (1)； (2)． 18．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平． (1)问船只能否顺利通过该桥？ (2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？ 19．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程是； (2)过点； (3)焦点到准线的距离为. 20．动点P（x，y）到y轴的距离比到点（2，0）的距离小2，求点P的轨迹方程． 21．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点. （1）求的最小值，并求出取最小值时点的坐标； （2）求点到点的距离与到直线的距离之和的最小值. 22．已知方程的抛物线上有一点，点M到焦点F的距离为5，求m的值． 参考答案 1--8BBDDA DCB 9．BC 10．ABD 11．AC 12．AC 13． 14． 15． 16．5 17．（1）由抛物线方程为，可得，且焦点在轴正半轴上， 所以可得其焦点为，准线方程为； （2）将化成标准方程为， 可得，且焦点在轴负半轴上， 所以焦点为，准线方程为. 18．（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系： 设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上； ∴25＝﹣4m；∴；∴； 可设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0）， 则；∴； ∵；∴货箱能顺利通过该桥． （2）由题（1）知，货物超出高度为， 每增加一层，则船体连货物高度整体上升， 由货物与桥壁需留下2cm间隙．则需要增加层数为层， 答：船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过． 19．（1）由准线方程为知抛物线的焦点在轴负半轴上，且， 则，故所求抛物线的标准方程为． （2）点在第二象限， 设所求抛物线的标准方程为或， 将点代入，得，解得， 所以抛物线方程为； 将点代入，得，解得， 所以抛物线方程为． 综上所求抛物线的标准方程为或． （3）由焦点到准线的距离为，所以， 故所求抛物线的标准方程为或或或． 20．依题意可得， 两边平方得，即， 当时，； 当时，. 所以点P的轨迹方程为：或. 21．（1）将代入得，而，即点A在抛物线内部， 过点作垂直于抛物线的准线于点，由抛物线的定义，知， 当，，三点共线时，取得最小值，即的最小值为， 此时点的纵坐标为2，代入，得，即点的坐标为， 所