圆锥曲线相关结论-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线相关结论 一．椭圆（푥 2 푎2 + 푦 2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)） 1.通径：过焦点且与⻓轴垂直的弦，⻓为2푏 2 푎 2.焦半径： （1）左焦半径： 푃퐹1 = 푎 + 푒푥0；右焦半径： 푃퐹2 = 푎 − 푒푥0 （2）直线过左焦点퐹1与椭圆交与 A,B 两点，倾斜⻆为θ（θ为锐⻆），则： 퐴퐹1 = 푏2 푎+푐 cos 휃 ， 퐵퐹1 = 푏2 푎−푐 cos 휃 最短焦半径为：푎 − c 最⻓焦半径为：푎 + c 3.弦⻓公式[A(x1, y1),B(x2, y2)，直线 AB 斜率为 k]： 퐴퐵 = 1 + 푘2 푥1 − 푥2 = 1 + 1 푘2 푥1 + 푥2 4.焦点弦⻓公式： 퐴퐵 = 퐴퐹1 + 퐵퐹1 = 2푎푏2 푎2−푐2cos 휃2 通径是最短焦点弦，⻓轴是最⻓焦点弦 5.焦点三⻆形 面积公式[已知∠F1PF2 = θ]，则：S = b2 tan θ 2 = c y0 周⻓为 2푎 + 2푐， 周⻓为 4푎 6.中点弦问题（点差法）： 直线与椭圆交于 A,B 两点，点 M 为 AB 中点，O 为原点，则：푘푂푀 ∙ 푘퐴퐵 =− 푏2 푎2 7.A,B 两点关于原点对称，P 为 A,B 外的任意一点，则푘퐴푃 ∙ 푘퐵푃 =− 푏2 푎2 8.过椭圆푥 2 푎2 + 푦 2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)上一点 P(x0, y0)的切线方程 푥푥0 푎2 + 푦푦0 푏2 = 1 （过圆푥2 + 푦2 = 푟2上一点 P 切线方程푥푥0 푟2 + 푦푦0 푟2 = 1） 二．双曲线 1.通径⻓：2푏 2 푎 2.焦点到渐近线的距离为 b。 3.弦⻓公式： 퐴퐵 = 1+ 푘2 푥1 − 푥2 = 1 + 1 푘2 푦1 − 푦2 4.焦半径： （1）点：左焦半径： 푃1퐹1 =− (푎 + 푒푥0) 푃2퐹1 = 푎 + 푒푥1 右焦半径： 푃1퐹1 = 푎 − 푒푥0 푃1퐹1 =− (푎 − 푒푥1) 左加右减，⻓正短负。 （２）⻆：过焦点的直线与双曲线交于 A,B 二点，且倾斜⻆为θ（锐⻆）。 （外弦）A,B 位于异线： 퐴퐹 = −푏 2 푎−푐 cos 휃 퐵퐹 = 푏 2 푎+푐 cos 휃 （内弦）A,B 位于同线： 퐴퐹 = 푏 2 푎−푐 cos 휃 퐵퐹 = 푏 2 푎+푐 cos 휃 焦点弦： 外弦： 퐴퐵 = 퐴퐹 − 퐵퐹 = −2푎푏 2 푎2−푐2cos 휃2 内弦： 퐴퐵 = 퐴퐹 + 퐵퐹 = 2푎푏 2 푎2−푐2cos 휃2 焦点三⻆形面积公式：若∠F1PF2 = θ则S∆PF1F2 = b2 tan θ 2 = c y0 5.中点弦问题（点差法）： 直线与双曲线交于 A,B 两点，点 M 为 A,B 中点，O 为原点，则：푘푂푀 ∙ 푘퐴퐵 = 푎2 푏2 9.A,B 两点关于原点对称，P 为 A,B 外任意一点，则：푘퐴푃 ∙ 푘퐵푃 = 푎2 푏2 三．抛物线（푦2 = 2푝푥） 1.通径⻓为 2푝 2.焦半径：A(x1, y1), b(x2, y2)，θ为直线 AB 倾斜⻆（锐⻆）,则： 퐴퐹 = 푥1 + 푝 2 = 푝 1 + cos 휃 퐵퐹 = 푥2 + 푝 2 = 푝 1 − cos 휃 1 퐴퐹 + 1 퐵퐹 = 2 푝 3.弦⻓公式： 퐴퐵 = 1+ 푘2 푥1 − 푥2 = 1 + 1 푘2 푦1 − 푦2 4.焦点弦： 퐴퐵 = 퐴퐹 + 퐵퐹 = 푥1 + 푥2 + 푝 = 2푝 sin 휃2 （通径是最短焦点弦） 5.焦点三⻆形：푆∆퐴푂퐵 = 푝2 3 sin 휃 (푆∆퐴푀퐵 = 푝2 sin 휃 ) 6.AB 为焦点弦，M 为 AB 中点；G 为 MM’与抛物线的交点 分别作 A,B,M 在准线上的射影 A’,B’,M’，则有： ①AM' ⊥ BM'（以 AB 为直径的圆与准线相切） ②B'F ⊥ A'F ③M'F ⊥ AB ④G 为 MM’中点 特别地：若θ = 60°，120°， A'F = 2p（⻓的焦半径） 퐵'퐹 = 1 3 ∙ 2푝 퐵'퐶 = 2 3 ∙ 2푝 7.一直线与抛物线交于 A,B 两点，若 OA ⊥ OB，则直线 AB 过点(2p,0) 若푘푂퐴 ∙ 푘푂퐵 = 푘(푘 ≠ 0)，则 AB 过定点( − 2푝 푘 , 0)