专题15 利用导数研究函数单调性、极值、最值-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

专题15利用导数研究函数单调性、极值、最值 一、核心体系 二、关键能力 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题. 三、教学建议 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间； 2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 四、高频考点 1、函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2、函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 3、函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 4、函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 五、重点题型 考点一、利用导数研究函数单调性 例1-1.【2019·天津卷】设函数为的导函数，求的单调区间。 例1-2.【2019·全国Ⅲ卷】已知函数f (x)＝2x3－ax2＋b.讨论f (x)的单调性． 例1-3.已知函数f(x)＝，x∈(m，＋∞)，证明：函数y＝f(x)在(m，m＋1)上单调递减 例1-4.已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． (1)若函数h(x)＝f (x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f (x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围． 训练题组 1.已知，那么单调递增区间__________；单调递减区间__________. 2．（2023·新课标1卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 3．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 4.已知函数. 讨论函数的单调区间； 5．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________． 考点二、利用导数研究函数的极值 例2-1（重庆高考真题）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　D　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 例2-2.（2021·山西省）已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ） A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－ 例2-3.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 训练题组 1.已知函数，则（ ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 2．多选题（2023·新课标2卷）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 3.（2020·江苏）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数在区间上单调递增 D．函数在处切线的斜率小于零 4.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　) A.－