2023-2024学年北师大版九年级数学上册暑假1.3-正方形的性质与判定讲义

九年级暑假第3节-正方形的性质与判定 ( 思维导图 ) ( 知识导航 ) 一、正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 二、正方形的性质（重点、难点） 1.正方形的四边相等； 2.正方形的四个角都是直角. 3.正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； . 4.对称性：（1）正方形是轴对称图形，有 4条对称轴.（2）正方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 三、正方形的判定定理（重点、难点） 1.有一个角是直角的菱形是正方形； 2.一组邻边相等的矩形是正方形； 3.对角线相等的菱形是正方形； 4.对角线互相垂直的矩形是正方形； 5.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形； 6.对角线垂直平分且相等的四边形是正方形； 四、中点四边形（难点） 1.顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形。 2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直； 若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等； 若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等． 一．正方形的性质（共12小题） 1．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．则图中与△AOB全等的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM＝CN＝5，CM、DN交于点O．则下列结论：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③S△ODC＝S四边形BMON；④OC＝中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（　　） A．4 B．8 C． D． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣1，） C．（﹣，2） D．（﹣1，） 5．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 6．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝AD，则∠ACE的度数为（　　） A．22.5° B．27.5° C．30° D．35° 7．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（　　） A．14 B．16 C．18 D．12 9．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　． 11．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是　 　． 12．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于　 　． 二．正方形的判定（共12小题） 13．如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件　 　（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形． 14．如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（　　） A．四边形BECF为平行四边形 B．当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形 C．当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形 D．四边形BECF不可能为正方形 15．两张对边平行的纸条，随意交叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是（　　）