第一章 特殊平行四边形（章末复习）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

章末复习 第一章 特殊平行四边形 北师大版 九年级上册 菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 【注意事项】 1、菱形是一种特殊的平行四边形。 2、平行四边形不一定是菱形。 【菱形的条件】①平行四边形；②一组邻边相等。 平行四边形 菱形 有关概念 矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形. 【注意】 1）矩形是一种特殊的平行四边形。 2）平行四边形不一定是矩形。 【矩形的条件】①平行四边形；②其中有一个角是直角。 A B Ｄ Ｃ 平行四边形 菱形 有关概念 菱形的性质 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 边 角 对角线 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 (1)S = AB·DE 菱形的面积计算公式： 菱形的面积 =底×高=对角线乘积的一半 (2)S = ×AC×BD 三个性质 矩形的性质 两组对边平行 两组对边相等 四个角是直角 邻角互补 边 角 对角线 两条对角线互相平分 两条对角线相等 三个性质 1）四个角都是直角 2）四条边都相等 3）对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。所以矩形、菱形有的性质,正方形都有。 正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系 三个性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边相等的四边形是菱形。 菱形的判定方法 （1）定义法： （2）判定定理1： （3）判定定理2： 三个判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形的判定 定义法： 定理： 定理1： 定理2： 三个判定 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 菱形条件 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等且有一个角是直角 = = 三个判定 有关菱形问题方法总结： 1.面积求法：两种。 2.边、线求法：利用4个直角三角形，知二求一。 3.角：知一角而知全部。 4.关注30°、60°、120°的特殊性。 方法总结 1.有关矩形问题常转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决. 2.构造矩形对角线得相等线段. 3.勾股定理结合方程思想解决矩形折叠问题 D B C A 方法总结 中点四边形的概念：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 中点四边形的性质： 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则 ①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③sEFGH =sABCD 结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形。 结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。 结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形。 结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形。 结论六：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形。 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正。 扩展 例1．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分 典型例题 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．两条对角线相等 D．两条对角线互相垂直 2．下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（    ） A．对角线垂直 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 3．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　） A．四个角都相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 针对训练 例2．在菱形ABCD中，若∠B+∠D＝160°，则∠C＝ °． 例3．菱形的边长为5，则它的周长为 ． 【详解】解：在菱形ABCD中，∠D＝∠B， ∵∠B+∠D＝160°，∴∠D＝∠B＝80°． 在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣80°＝100°．故答案是：100． 【详解】∵菱形的四条边相等．∴周长：， 故答案为：20． 典型例题 1．如图，菱形中，已知，则的大小是 ． 2．如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 cm2． 【详解