2.2 基本不等式 同步练-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 一、单选题 1．下列不等式恒成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 2．若，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．8 7．若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 10．已知，则 的最小值是（　　）． A．2 B．3 C．4 D．5 11．不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 12．已知，，则的最小值为（    ） A．16 B．13 C．9 D．6 二、多选题 13．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 14．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 15．已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是4 C．的最小值是8 D．的最小值是 16．已知，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．已知，若，则的最大值为 ． 18．已知，则的最小值为 . 19．已知实数，，则的最小值是 . 20．已知，，，则的最小值为 ． 21．对任意，为正实数，都有，则实数a的最大值为 . 四、解答题 22．已知，，，且．求证：． 23．设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 24．（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 25．判断下列说法的正误，并说明理由： (1)的最小值是12； (2)当时，，等号成立当且仅当，即时，取到最小值. 参考答案： 1．D 对于A：取，，则，，此时. 故A错误； 对于B：取，，则，，此时. 故B错误； 对于C：取，，则，，此时. 故C错误； 对于D：因为，所以. 2．D 由，，且，可得， 当且仅当时，等号成立， 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，，所以B错误； 对于C中，由，可得，所以C错误； 对于D中，，所以， 所以，所以D正确. 3．A 因为， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为. 4．C 解：∵， ∴，当且仅当，即，时取等号. 5．A 由题意，所以， 得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为． 6．B 正实数满足， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，解得， 所以的最小值为. 7．D 因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 8．B 因为，所以， 所以由可得， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当，时取等号， 9．C 解：， 当且仅当，即时取等号． 10．A 因为，，所以， ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 11．D 由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 12．A 因，， 所以， 当且仅当即，且时，等号成立. 13．ABC 对于A，因为，， 所以，则， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，， 所以，则，故，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，因为，，所以，， 则，即，故D错误. 14．ABD 因为，且均为正实数，所以由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，正确； 由不等式，得，所以，即，当且仅当时等号成立，C错误（或）； 因为，所以，当且仅当时等号成立，D正确． 15．BC 因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，则A错误； 由题意可得， 当且仅当时，等号成立，则B正确； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确； 由题意可得，此时，． 因为，所以不存在，使得，则D错误． 16．AC 对于A，，当且仅当时取“=”，A正确； 对于B，，当且仅当，即时取“=”，B不正确； 对于C，因，则有， 即，当且仅当，即时取“=”，由得，所以当时，，C正确： 对于D，由得，，而函数在上单调递增，因此，不正确. 17．2 因为，所以，解得， 当且仅当即，时，等号成立． 所以的最大值为2. 故答案为：2 18． ∵，∴，，且， ∴ ，当且仅当时， 即时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 19．3 ,令,则, 当且仅当即时等号成立.故的最小值为3.