专题09 解析几何小题综合-【冲刺双一流之小题必刷】备战2024年高考数学小题热点题型必刷•满分冲刺 （新高考湖北专用）

专题09 解析几何小题综合 一、单选题 1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到圆上的点到直线距离的最大值作为的高，再由面积公式求解即可. 【详解】把圆变形为， 则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则圆上的点到直线的距离的最大值为，又， ∴的面积的最大值为． 故选：A． 2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）设，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，点P为椭圆上异于A点的任意一点，则使得成立的点P的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意，P在以为直径的圆上，数形结合判断圆与椭圆的交点个数. 【详解】，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，则，， ∵，∴P在以为直径的圆上，该圆与椭圆有三个公共点，如图所示，    又P点与A点不重合，故符合条件的点P的个数有2个. 故选：B． 3．（2023·湖北·统考模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（    ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 【答案】A 【分析】先设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出.根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案. 【详解】如图， 设该抛物线的方程为，易知抛物线经过点， 所以，解得，故该抛物线的顶点到焦点的距离为， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为：米. 故选：A 4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知抛物线和，若和有且仅有两条公切线和，和、分别相切于M，N点，与、分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN（    ） A．总是互相垂直 B．总是互相平分 C．总是互相垂直且平分 D．上述说法均不正确 【答案】B 【分析】根据题意分析可得抛物线和关于点成中心对称，结合中心对称分析运算. 【详解】设， 则， 所以关于点成中心对称，即抛物线和关于点成中心对称， 因为和是它们的公切线，和、分别相切于M，N两点，和、分别相切于P，Q两点， 则M，N和P，Q都关于点成对称中心对称， 所以线段PQ与MN互相平分， 故选：B． 5．（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解. 【详解】解：如图，    因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点， 所以 . 当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为. 故选：A 6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解. 【详解】设，则，由， 消去，得， 注意到，则.于是， 同理，. 因此. 的倾斜角为，∴直线的斜率， 根据弦长公式，可得. 由，可得，故. ． 故选：A 7．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，求出动点的轨迹圆的方程，再求出直线过定点坐标，依题意点在圆的内部，即可得到不等式，解得即可. 【详解】设点，，， 所以动点的轨迹为阿氏圆：， 又直线恒过点， 若对任意实数直线与圆恒有公共点， 在圆的内部或圆上，所以，所以，解得， 即的取值范围为. 故选：C 8．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点，.直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，三点共线.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，由题意可得出，利用椭圆的定义结合已知条件可求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示：    因为点关于的对称点为，则， 因为，且， 所以，，所以，， 可得，则， 所以，