素养拓展16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 1.正弦定理 .（其中为外接圆的半径） （边化角） （角化边） 2.余弦定理： 3.三角形面积公式： = 4.三角形内角和定理： 在△ABC中，有. 5.基本不等式（优先用基本不等式） ① ② 6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题） 利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。 二、题型精讲精练 【典例1】若，，求的最大值．建议使用两种方法来解决： 法一：余弦定理＋不等式． 法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式． 【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得最大值； 方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值. 解：方法一：由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， （当且仅当时取等号），的最大值为； 方法二：由正弦定理得：， ； ，，，， ，的最大值为. 【典例2】若，，求周长的取值范围．建议使用两种方法来解决： 法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系． 法二：正弦定理＋辅助角公式． 【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据可求得的最大值，结合三角形三边关系可求得结果； 方法二：利用正弦定理角化边，可将化为，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果. 解：方法一：由余弦定理得：， 又（当且仅当时取等号），， 解得：（当且仅当时取等号）， 又，，周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理得：， ， ，，，， 即周长的取值范围为. 【题型训练1-刷真题】 1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 2．（2020·全国·统考高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【题型训练2-刷模拟】 1.面积的最值（范围）问题 一、解答题 1．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，满足. (1)求角； (2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值. 2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，求面积的最大值. 3．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知内角所对的边长分别为. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 4．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求∠C. (2)若，求面积的最小值. 5．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 6．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 7．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，D为边上一点，平分． (1)求角A； (2)求面积的最小值． 8．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若，且，求面积的取值范围． 9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为. (1)若外接圆的半径为，求面积的最大值； (2)若内切圆的半径为，求面积的最小值. 10．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求面积的取值范围． 11．（2023·江西·校联考二模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 12．（2023·广东茂名·统考二模）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，点、在边上，，求面积的最小值. 13．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，． (1)求角B的大小； (2)若，求△ABC面积的最大值． 14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)