专题01探索勾股定理（2个知识点8种题型1个易错点2种中考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

专题01探索勾股定理（2个知识点8种题型1个易错点2种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：勾股定理的探索及其验证（难点） 知识点2：勾股定理的应用（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1：利用勾股定理求直角三角形的边长 题型2：利用勾股定理求直角三角形斜边上的高 题型3：利用勾股定理说明边的关系 题型4：利用勾股定理求图形的面积 题型5：利用勾股定理求平面上两点间距离 题型6：勾股定理的验证 题型7：折叠问题 题型8：运用勾股定理解决实际问题 【方法三】 差异对比法 易错点：没有对边的情况进行讨论导致错误 【方法四】 仿真实战法 考法1：勾股定理 考法2：勾股定理证明 【方法五】 成果评定法 【学习目标】 1.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系. 2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力. 3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长. 4.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯. 5.掌握勾股定理和它的简单应用. 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：勾股定理的探索及其验证（难点） 1、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 2、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点2：勾股定理的应用（重点） 1.已知直角三角形的两边，求其第三边。 2.已知直角三角形的一边长，确定另两边关系 3.证明含有平方关系的几何问题 4.解决生产、生活中的实际问题。 【方法二】实例探索法 题型1：利用勾股定理求直角三角形的边长 1．（2022春•孟村县期中）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知b＝8，c＝10，则a的值为（　　） A．2 B．6 C．5 D．36 2.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求． 3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）已知＝2，＝3，求； （2）已知，＝32，求、． 4．（2022春•岳麓区校级期中）如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4． （1）求OC的长； （2）求BD的长． 5．（2022春•长沙期中）如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的长． 题型2：利用勾股定理求直角三角形斜边上的高 6．（2023春•虞城县期末）直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 　　 ． 7．（2023春•灵宝市期中）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是 　　 ． 8．（2022春•广州期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）求斜边AB上的高； （2）①当点P在BC上时，PC＝　 　；（用含t的代数式表示） ②若点P在∠BAC的角平分线上，求t的值． 题型3：利用勾股定理说明边的关系 9、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N， 试说明． 10．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2． 【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝