专题1.6 立体几何的最值、范围问题（强化训练）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）

专题1.6立体几何的最值、范围问题 题型一 数量积的最值范围范围 题型二 面积、体积的最值范围问题 题型三 夹角的最值范围问题 题型四 距离的最值范围问题 题型一 数量积的最值范围范围 1．在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．17 C． D． 2．已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知MN是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值可为（    ） A．-1 B．0 C． D．5 4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面平行，则三棱锥的体积为 B．若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 6．一个长方体的棱长分别为，是该长方体外接球的一条直径，点是长方体表面上的一个动点，则的取值范围是_____. 7．已知P是棱长为1的正方体内（含正方体表面）一动点． （1）当点P运动到中点时，的值为_____； （2）当点P运动时，的最大值为_____． 8．已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_____. 题型二 面积、体积的最值范围问题 9．如图，已知四棱锥中，正三角形的边长为2，平面，且，则四棱锥的体积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 10．已知三棱锥中，，，，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 11．已知底面为矩形的直四棱柱高为4，体积为16，各顶点都在一个球面上，则这个球的体积的最小值是（     ） A． B． C． D． 12．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为_____. 13．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，.记四面体的外接球的球心为，为球表面上的一个动点，当取最大值时，四面体体积的最大值为_____.    14．一个圆锥母线与底面所成的角为，体积为，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为_____． 15．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近A的三等分点，为上靠近的三等分点．    (1)证明：平面//平面． (2)若平面，，与平面的距离为，，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式． (3)在（2）的条件下，当为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值． 16．如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，是上的动点.    (1)求圆柱的侧面积； (2)求四棱锥的体积的最大值. 题型三 夹角的最值范围问题 17．（多选）如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ）    A．当且时，有 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，直线和所成的角的取值为 D．当时，直线与平面所成角的正弦值范围是 18．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．线段上存在点，使平面 C．当点与点重合时，二面角的余弦值为 D．设直线与平面所成角为，则的最大值为 19．（多选）在正四棱锥中，，，点满足，其中，，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值是 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，与所成角可能为 D．当时，与平面所成角正弦值的最大值为 20．（多选）在棱长为1的正方体中，点为的中点，点，分别为线段，上的动点，则（    ） A． B．平面可能经过顶点 C．的最小值为 D．的最大值为 21．如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点）    (1)求点到面的距离； (2)求四棱锥外接球的体积； (3)点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置． 22．如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)记二面角的大小为. ①当时，求直线与平面所成角的正弦值. ②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 23．如图，在三棱锥中，的中点为.    (1)证明：直线平面； (2)若，当直线与平面所成