专题1.5 空间向量的探索性问题（强化训练）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）

专题1.5空间向量的探索性问题 题型一 平行中的探索性问题 题型二 垂直中的探索性问题 题型三 夹角中的探索性问题 题型四 距离中的探索性问题 题型一 平行中的探索性问题 1．如图所示，在四棱锥，面，底面为正方形． (1)求证：面； (2)已知，在棱上是否存在一点，使面，如果存在请确定点的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由． 2．如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是，点为侧棱上的点． (1)求正四棱锥的体积； (2)若平面，求二面角的大小； (3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 3．已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面.    (1)在上是否存在一点，使得平面？ (2)求二面角的余弦值. 4．如图，直三棱柱中，，D是的中点． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求二面角的余弦值； (3)在上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点． (1)若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长； (2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由． 6．如图，底面为直角梯形的四棱柱中，侧棱底面，为的中点，且为等腰直角三角形，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由． 7．如图1，在平面内，ABCD是且的菱形，和都是正方形．将两个正方形分别沿，折起，使与重合于点．设直线过点且垂直于菱形所在的平面，点是直线上的一个动点，且与点位于平面同侧（图2）． (1)设二面角的大小为，若，求线段的长的取值范围； (2)若在线段上存在点，使平面平面，求与BE之间满足的关系式，并证明：当时，恒有. 8．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 题型二 垂直中的探索性问题 9．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4． (1)求点A到平面PCD的距离； (2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1A的中点． (1)求证：BC1∥平面CEF； (2)在棱A1B1上是否存在点G，使得EG⊥CE？若存在，求A1G的长度；若不存在，说明理由． 11．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，，点是的中点， (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)证明：在线段上存在点，使得.并求的值. 12．正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD翻折成直二面角． (1)求二面角E－DF－C的余弦值； (2)在线段BC上是否存在一点，使AP⊥DE？证明你的结论． 13．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度. 14．如图，在长方体中，点为的中点，且，，点在线段上． (1)问：是否存在一点，使得直线平面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． (2)若是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点. (1)求证：平面BDE. (2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度. (3)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由. 16．如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且． (1)证明：； (2)在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值. 题型三 夹角中的探索性问题 17．在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点． (1)求证：； (2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 18．如图，在中，，为边上一动点，