1.4 二次函数的应用（第3课时）（同步课件）数学浙教版九年级上册

1.4 二次函数的应用 第3课时 拱桥问题中的抛物线 数学（浙教版） 九年级 上册 第1章 二次函数 学习目标 1．学会构建二次函数模型，将实际应用问题转化为二次函数问题； 2．学会利用二次函数的图象与性质解决拱桥问题； 　 导入新课 生活中的抛物线 　 导入新课 观察上面几幅图片，我们发现这些造型都可以看做是一个抛物线 x y x y x y （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c O O O 讲授新课 知识点一 二次函数的实际应用——拱桥型的抛物线问题 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 讲授新课 这是什么样的函数呢？ 你要想解决这个问题，可以采取什么方法呢？ 建立函数模型 以拱桥的顶部作为顶点，构造x、y轴，可以发现拱桥的形状如同二次函数的抛物线； 讲授新课 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为 讲授新课 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 如何确定a是多少？ 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 解得 讲授新课 由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是： 水面宽3m时 从而 因此拱顶离水面高1.125m 现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 讲授新课 我们来比较一下 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适 y y y y o o o o x x x x 讲授新课 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 注： 1、二次函数的实际应用题，都需要结合二次函数的图象和性质进行分析，明白二次函数的内在意义； 2、在考虑实际问题的解时，要注意二次函数的解是否符合具体实际情况，对不符合的解，要进行排除； 讲授新课 典例精析 【例1】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，请根据所给的数据，则支柱MN的长度为（   ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 讲授新课 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A点坐标(-10,0)，B点坐标为(10,0)，C点坐标为(0,6)，N点横坐标为5， 设抛物线的解析式为y=ax2+c， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为y=x2+6， ∴当x=5时，y=4.5， ∴支柱MN的高度=10-4.5=5.5m， 故选：C． 讲授新课 练一练 1．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物线的解析式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 讲授新课 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2， ∴桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米， ∴点A(-10,-4)， ∴-4=100a，解得：a=， ∴该抛物线的解析式y=x2； （2）解：∵船宽5米， ∴当x=2.5时，y=×2.52=0.25， 若该渔船能安全通过，此时水面高为(3+0.25)米， ∴当y=-3.25时，-3.25=x2， 解得x=， ∴水面宽度为米． 当堂检测 1．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（　　） A．﹣10m B．m C．m D．m 当堂检测 【详解】根据题意，当y=-2时，有-2=x2， 解得：x=±， ∴A(,B(，-2)， ∴这时水面宽度AB=2×=m． 故选：D． 当堂检测 2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用y=表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8m．那么两排