2.1 等式性质与不等式性质（5大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质 重点：1、掌握等式与不等式的性质；2、会用作差法或作商法比较两个数或式的大小； 难点：1、能利用不等式的性质证明简单的不等式；2、能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系。 一、不等式关系与不等式 1、不等式的概念 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫作不等式。 2、不等式中种子语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 二、等式的基本性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 三、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 四、比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质。 题型一 用不等式表示不等关系 【例1】（2022秋·陕西咸阳·高一校考阶段练习）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·高一课时练习）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组： ． 题型二 利用不等式的性质判断命题真假 【例2】（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）已知，则下列说法正确的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）下列说法不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）（多选）已知∈R，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-3】（2023秋·云南红河·高一统考期末）（多选）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三 比较两个数（式）的大小 【例3】（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习