空间向量专题：利用空间向量解决4类动点探究问题-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

利用空间向量解决4类动点探究问题 一、与空间向量有关的探索性问题 一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直， 另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或为面交满足特定要求是的存在性问题。 二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。 三、动点的设法（减少变量数量） 在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。 1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标； 依据：根据平面向量共线定理—若，使得 【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示， 方法如下：， 因为在上，所以 ∴， 所以可设点. 2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。 依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得 【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示， 方法如下：，， 故，即 所以可设点. 题型一 平行问题中的动点探究 【例1】（2023春·江西吉安·高二宁冈中学校考期末）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角． （1）若，求该几何体的体积； （2）若AE垂直PD于E，证明：； （3）在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2022秋·天津蓟州·高二校考阶段练习）如图，长方体中，，， （1）求证：平面平面; （2）线段上，是否存在点，使得平面. 【变式1-2】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，，．M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在点Q，使得平面？ 【变式1-3】（2022·高二课时练习）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 题型二 垂直问题中的动点探究 【例2】（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期末）如图，在直三棱柱-中，3，=4，5， （1）求证； （2）在上是否存在点，使得并说明理由 【变式2-1】（2023春·高二课时练习）如图，四棱锥中，为矩形，，且．为上一点，且． （1）求证：平面； （2）分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由． 【变式2-2】（2021秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点． （1）在B1B上是否存在一点P，使平面？ （2）在平面上是否存在一点N，使平面？ 【变式2-3】（2023春·河南驻马店·高二河南省驻马店高级中学校考期中）已知四棱锥中，平面，，，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由． 【变式2-4】（2022秋·全国·高二专题练习）如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点. （1）求证：，，，四点共面； （2）是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由. 题型三 夹角问题中的动点探究 【例3】（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，F，G分别是PB，AD的中点． （1）求证：平面PCB； （2）在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点的位置，若不存在，请说明理由． 【变式3-1】（2022·全国·高二专题练习）菱形ABCD中，∠ABC＝120°，EA⊥平面ABCD，EA∥FD，EA＝AD＝2FD＝2.    （1）证明：直线FC//平面EAB； （2）线段EC上是否存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为？若存在，求，若不存在，说明理由. 【变式3-2】（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点. （1）证明：平面. （2）线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余