专题14 最短路径问题-【暑假预习课堂】2023年新八年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（人教版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练 专题十四 最短路径问题 【专题导航】 目录 【考点一 将军饮马问题一】...........................................1 【考点二 将军饮马问题二】...........................................7 【考点三 造桥选址问题】.............................. ............ 13 【考点三 差值最大型问题】..........................................17 【聚焦考点1】 将军饮马模型总结一：依据两点之间线段最短求最值 类型 问题 作法 图形 原理 异侧型“两定一动”型 连接AB PA＋PB的最小值为AB，两点之间，线段最短 同侧型“两定一动”型 作点A关于直线l的对称点A`，连接A`B，A`B与直线l的交点即为点P AP+BP=A`B，两点之间线段最短 角内部“一定两动”型 分别作点P关于两直线的对称点P`，P``，连接P`P``，与两直线交点即为点M、N PM+MN+PN=P`P``，两点之间，线段最短 角内部“两定两动”型 分别作点P、Q关于直线l1，l2的对称点P`，Q`，连接P`Q`，与直线的交点即为点M、N PQ+PM+MN+NQ=PQ+P`Q`，两点之间线段最短 【典例剖析1】 【典例1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【典例1-2】如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ） A．84° B．88° C．90° D．96° 【答案】B 【典例1-3】如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（ ） A． B． C． D． 针对训练1 【变式1-1】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A． B． C．． D 【变式1-2】如图，在中BC=5，垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是________． 【变式1-3】如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________． 【聚焦考点2】 将军饮马模型总结：依据垂线段最短求最值 如图，点P、点Q分别为直线BC、直线AB上的两个动点，求AP＋PQ的最小值 作点A关于直线BC的对称点A`，过点A`作A`Q⊥AB与点Q，A`Q与直线BC交点即为点P AP+PQ=A`Q，点到直线的距离，垂线段最短 【典例剖析2】 【典例2-1】如图，在中，，是的平分线．若，分别是和上的动点，且的面积为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【典例2-2】如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线且AD＝4，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为_____． 针对训练2 【变式2-1】如图，在△ABC中，AB = AC = 8，S△ABC = 16，点P为角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB+PE的最小值为_____． 【变式2-2】如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15º，OB=5，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，Q是OA上一动点，则PA+PQ的最小值是__________ 【能力提升2】 【提升2-1】如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为___________． 【提升2-2】如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____． 【聚焦考点3】 造桥选址问题 村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应该如何选择，才能使A与B之间的距离最短构造平行四边形AA`NM，则AM转