专题13 等边三角形-【暑假预习课堂】2023年新八年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（人教版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练 专题十三 等边三角形 【专题导航】 目录 【考点一 等边三角形性质】...........................................1 【考点二 等边三角形判定】...........................................4 【考点三 等边三角形判定性质综合应用】..............................6 【聚焦考点1】 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【典例剖析1】 【典例1-1】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，若∠BEC＝90°，则∠ACE的度数（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【典例1-2】如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 　　． 【典例1-3】如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE． 针对训练1 【变式1-1】如图，点在等边的边的延长线上，点在线段上，连接，，若，且，那么的度数为　　 A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】如图，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一点，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示线段BD、CD、AC的数量关系，并证明． 【能力提升1】 【提升1-1】如图，是等边三角形，两个锐角都是的三角尺的一条直角边在上，则的度数为（ ） B． C． D． 【提升1-2】如图，等边中，，点是边上一点，则的最小值是　　 A．3 B．4 C．5 D． 【提升1-3】如图．已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CD＝CE，M是BE的中点． （1）求∠E的度数； （2）求证：DM⊥BC． 【聚焦考点2】 等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例剖析2】 【典例2-1】下列对三角形的判断，错误的是　　 A．若，则是直角三角形 B．若，，则是等边三角形 C．若，，则是等腰三角形 D．若，，则 【典例2-2】如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）． A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【典例2-3】小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明． （1）请根据以上命题和图形写出已知和求证： 已知：　如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点　， 求证：　△ABC是等腰三角形　． （2）请证明以上命题． 针对训练2 【变式2-1】下列推理中，不能判断是等边三角形的是　　 A． B．， C．， D．，且 【变式2-2】如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形． 【变式2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形． 【能力提升2】 【提升2-1】如图，在中，是边上的高，平分交边于，两线相交于点． （1）若，，求的大小； （2）若是的中点，，求证：是等边三角形． 【提升2-2】．如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接． （1）请说出的理由； （2）试说出的理由； （3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明． 【提升2-2】如图，△ABC ≌ △ADE，∠BAD ＝ 60°．求证：△ACE是等边三角形． 【聚焦考点3】 等边三角形的判定与