第03讲 二次函数与一元二次方程、不等式（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第03讲 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点1 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点2 二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点4 解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点5 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 知识点6 一元二次不等式的恒成立 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 【题型1 解一元二次不等式】 【典例1】（2022秋•兴义市校级月考）求下列不等式的解集： （1）（x+2）（x﹣3）＞0； （2）3x2﹣7x≤10； （3）﹣x2+4x﹣4＜0； （4）x2﹣x+＜0； （5）﹣2x2+x≤﹣3； 【变式1-1】（2023•广东学业考试）不等式（x﹣5）（x+2）＞0的解集是（　　） A．{x|x＜﹣2或x＞5} B．{x|x＜﹣5或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜5} D．{x|﹣5＜x＜2} 【变式1-2】（2023春•仙游县校级期中）不等式（1﹣x）（x﹣3）＜0的解集是（　　） A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．{x|x＜1或x＞3}D．{x|x＜﹣3或x＞1} 【变式1-3】（2023春•麒麟区校级月考）不等式（x﹣1）（x﹣4）≥0的解集是（　　） A．{x|x＞4或x＜1} B．{x|1＜x＜4} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥4或x≤1} 【变式1-4】（2021秋•叶城县校级期末）解下列不等式的解集： （1）x2﹣4x+4＞0； （2）﹣3x2+5x﹣2＞0． （3）2x2+7x+3＞0； （4）2x2＜x﹣1； 【变式1-5】（2022秋•梧州期中）求下列不等式的解集： （1）x2﹣2x﹣3＞0； （2）﹣x2+9≥0． 【题型2 根据一元二次不等式解求参数】 【典例2-1】（2023春•昌图县校级期中）若不等式ax2+5x+14＞0的解集为{x|﹣2＜x＜7}． （1）求a的值； （2）求不等式2ax2+3x+a2+1＜0的解集． 【变式2-2】（2023春•朝阳区期末）已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4）⋃（4，+∞） B．（﹣∞，﹣4]⋃[4，+∞） C．（﹣4，4） D．[﹣4，4] 【变式2-1】（2023•沈阳三模）不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋•天水期末）设不等式x2﹣2ax﹣1≤0的解集为M，若M⊆[﹣2，2]，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣2，2] B．（﹣2，2） C．[﹣，] D．（﹣，） 【变式2-3】（2022秋•番禺区校级期中）若不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}． （1）求a+b的值； （2）求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集． 【典例3】（2022秋•道里区校级月考）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为（﹣，﹣），则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞） B．[﹣3，﹣2] C．[2，3] D．（﹣∞，2]∪[3，+∞） 【变式3-1】（2022秋•荔湾区校级月考）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式ax2+（a+b）x+c﹣2a＞0的解集为