第02讲 基本不等式（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第02讲 基本不等式 知识点1 基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点2 基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4 利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 【题型1 基本不等式求最值】 【典例1】（2022秋•威海期末）已知正实数a，b满足a+2b＝1，则的最小值为（　　） A．8 B．17 C．20 D．25 【变式1-1】（2023春•西安期末）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值是（　　） A．7 B． C．4 D． 【变式1-2】（2022秋•广安区校级期末）已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 【典例2】（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【变式2-1】（2022秋•阿勒泰地区期末）已知正数x，y满足9x+y＝4，则的最小值为（　　） A．5 B．3 C．4 D．2 【变式2-2】（2022•红桥区一模）设a＞0，b＞1，若a+b＝2，则的最小值为（　　） A．6 B．9 C． D．18 【典例3】（2023春•鞍山期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　） A．8 B． C．9 D． 【变式3-1】（2023春•南宁月考）若a，b＞0，且ab＝a+b+3，则ab的取值范围是（　　） A．ab≤1 B．ab≥9 C．ab≥3 D．1≤ab≤9 【变式3-2】（2022春•浙江月考）已知x，y＞0且x+2y＝xy，则x+y的最小值为（　　） A．3+ B．4 C．2 D．6 【典例4】（2022秋•龙岗区校级月考）函数的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（2023春•武汉期末）若x＞3，则函数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023春•朝阳区期末）当x＞﹣1时，函数的最小值为 　　，此时x＝　　． 【题型2利用基本不等式求参数】 【典例5】（2023春•崇州市校级期中）已知x＞0，y＞0，且，若2x+y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，9） B．[7，+∞） C．[9，+∞） D．（﹣∞，7） 【变式5-1】（2022秋•项城市校级期中）已知x＞0，y＞0且+＝1．若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．{m|m≥} B．{m|m≤﹣3} C．{m|m≥1} D．{m|﹣9＜m＜1} 【变式5-2】（2022秋•思明区校级期中）当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．[5，+∞） D．（﹣∞，5] 【变式5-3】（2022秋•秀峰区校级月考）已知x＞0，y＞0，x+3y＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（