12.3角平分线的性质-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十二章 全等三角形》 12.3 角的平分线的性质 知识点一 作已知角的平分线 ◆已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 知识点二 角的平分线的性质 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. ◆4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 知识点三 证明几何命题的一般步骤 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 知识点四 角的平分线的判定 ◆1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ◆2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等， 反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 题型一 角的平分线的作法 【例题1】用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 解题技巧提炼 用尺规作已知角的平分线的步骤： （1）以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于两点； （2）分别以这两点为圆心，以大于这两点间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于角内一点； （3）过角的顶点和这个交点作射线，即得已知角的平分线. 【变式1-1】（2023春•惠济区期末）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-2】如图，用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的∠AOB的两边上，分别取　 　，再分别过点M，N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，可利用　 　（填写判定方法）证明△POM≌△PON，然后根据　 　得∠POM＝∠PON，则OP平分∠AOB． 【变式1-3】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）做∠A的平分线交BC于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若再作∠B的平分线交AD于点P，则∠APB的度数为　 °． 题型二 利用角平分线的性质解决求线段长问题 【例题2】（2023春•沈北新区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．4 解题技巧提炼 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 【变式2-1】（2023春•莲湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝9，CD＝6，则点D到BC的距离是（　　） ​ A．2 B．4 C．3 D．6 【变式2-2】（2023春•大东区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则BD的长为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 【变式2-3】（2023春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．7 【变式2-4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 题型三 利用角平分线的性质解求周长问题 【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交