第04讲 五种裂项相消法求数列前n项和的方法-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

第04讲 五种裂项相消法求数列前n项和的方法 考法呈现 考法一：分式型裂项 例题分析 【例 1】已知在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 满分秘籍 利用裂项相消法求和的注意事项 （1） 抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能是前面剩两项，后面也剩两项，也有可能是间隔开的项剩下，一般来说是对称的。 （2） 将通项裂项后，一定要注意调整前面的系数，避免失误。 （3） 掌握常见的分式型裂项相消的公式： 公式一：；公式二： 公式三： 变式训练 【变式1-1】记数列的前n项和为，对任意，有． (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和． 【变式1-2】记为数列的前项和． (1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列； ①数列是等差数列；② (2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和． 【变式1-3】已知等差数列满足，，等比数列满足，． (1)求与的通项公式； (2)若，设，求的前项和． 【变式1-4】已知数列是公差为的等差数列，且，若16和26分别是中的项. (1)当取最大值时，求通项； (2)在（1）的条件下，求数列的前n项和. 考法二：根式型裂项 例题分析 【例2】已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当时，． 满分秘籍 根式型裂项常见公式： 公式一：) 公式二：) 变式训练 【变式2-1】已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 【变式2-2】已知正项数列满足，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 【变式2-3】在正项数列中，，． (1)求； (2)证明：． 【变式2-4】在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题． 已知数列的前n项和． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，设___________，求数列的前n项和． 考法三：指数型裂项 例题分析 【例3】已知是数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 满分秘籍 指数型裂项常见公式 公式一：- 公式二： - 公式三： 变式训练 【变式3-1】已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式3-2】已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【变式3-3】已知为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：． 【变式3-4】已知数列的前项和为，，，. (1)求，及的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值. 考法四：对数型裂项 例题分析 【例4】已知数列满足 (1)证明：数列为等差数列： (2)设数列满足，求数列的前项和. 满分秘籍 对数型裂项常见公式 变式训练 【变式4-1】已知数列的首项为2，且满足（且），． (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【变式4-2】已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，，，求； (3)设，其中.求的前2n项和. 【变式4-3】已知数列，，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列和的通项公式； (2)记． （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【变式4-4】已知数列是首项为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且满足，．设数列满足． (1)求的通项公式； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列满足______，求的前n项和． 考法五：三角函数型裂项 例题分析 【例5】已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前100项和． 满分秘籍 三角函数型裂项常见公式 公式一： 公式二： 变式训练 【变式5-1】已知数列中，，，且． (1)设，试用表示，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式5-2】在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令 . （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 【变式5-3】已知数列中，，，且. (1)设，证明数列是常数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的的前项和； (3)设，求数列的前2022项的和. 【变式5-4】在正项等比数列中，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 真题专练 1．设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.