第十二章全等三角形讲义2022-2023学年人教版八年级数学上册

第一讲 全等三角形 （1） 知识要点 1、 全等三角形的有关概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 “全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC≌△DEF。当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，△ABC和△DEF全等，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，记作△ABC≌△DEF。其中AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角。A B C D E F 规律方法小结：在全等三角形中找出对应角和对应边，关键是先找出对应顶点，然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等，再按顺序写出对应边和对应角。全等三角形的面积一定相等，但是面积相等的三角形不一定是全等三角形。 常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。 （1）平移型：如下左图，若△ABC≌△DEF，则BC=EF。将△DEF向左平移得到下右图，则仍有BC=EF，在右图中，若知BC=EF，则可推出BE=CF。 A B C D E F A B C D E F （2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A，有公共部分∠1；图2的旋转中心为点O，有一对对顶角∠1=∠2。 A B C 1 E D A B C D O 1 2 （1） （2） A B D C （1） （2） A B C E D （3）翻折型：如上右图，两对三角形的全等属于翻折型，其中图1中有公共边AB，图2中有公共角∠A。 知识延伸：熟悉这些基本图形，有利于我们寻找三角形全等的隐含条件，启发我们的证明思路。 2、 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 知识延伸：（1）全等三角形的性质是以后我们证明线段相等或角相等的常用依据； （2）全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。 规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角； （4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。 （2） 典型例题 例1：若把△ABC绕A点顺时针旋转一定的角度，就得到△ADE，请写出图中所有的对应边和对应角。B A C D E 规律·方法：全等三角形的书写要注意对应顶点写在对应的位置上，同时，在书写对应边时，直接按照对应边来写，但书写对应角时，就必须特别注意结合图形，尤其是角的表示。 例2：如图，已知△ABD≌△ACE。试说明BE=CD，∠DCO=∠EBO。E A B C D O 规律·方法：全等三角形的性质不仅有：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。同时，我们还发现：（3）全等三角形的周长相等；（4）全等三角形的面积相等；（5）全等三角形中，对应边上的高，对应边上的中线，对应角的平分线也分别相等。 例3：如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD和BC的位置关系，并加以说明。A B C D F E 例4：如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）A B C D E A、150 B、200 C、250 D、300 A B C D E P Q 1 2 3 α 例5：如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折1800形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则求∠α的度数。 例6：如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角。 A B C D E 1 2 例7：如图，已知△ABC≌△DBE，AB⊥CD，DE的延长线交AC于点F，那么DF⊥AC吗？说明理由． 例8：如图，已知△ABE≌△ACD．且AB =AC，求证： (1) ∠BAD= ∠CAE; (2)BD= CE. （3） 反馈练习 1．如图，△ABC≌△DCB，若∠l与∠2是一组对 应角，则其他的对应角有 ， ，对应边有 ， ， 。 2．如图，△AB≌C△A′B′C′，且点B，B′，C，C′在同一直线上，则BB′=____；若∠A=80º，则∠A′= º，∠B′DC= º。 3．如图，把△ABC沿直线BC翻折18