21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2023-2024学年人教版九年级数学上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 与一元二次方程的根与系数的关系有关的关系式 2.(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂; 3. (x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+(x₁+x₂)+1; 认知基础练习 知识点1一元二次方程的根与系数的关系 1.若一元二次方程 x²-4x+3=0 的两个根是x₁,x₂,则x₁· x₂的值是 . 2. 若x= -1是方程 x²+x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是( ) A. -1 B.0 C.1 D.2 3. 若x= -2是一元二次方程x²+2x+m=0 的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是( ) A.0,-2 B.0,0 C. -2,-2 D. -2,0 4.在解一元二次方程 x²+px+q=0 时，小红看错了常数项 q，得到方程的两个根是-3，1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是( ) A. x²+2x-3=0 B. x²+2x-20=0 C. x²-2x-20=0 D. x²-2x-3=0 知识点2 用根与系数的关系求含两根的代数式的值 5. 设x₁,x₂是方程 x²+2x-3 =0的两个实数根，则 的值为 . 6.已知m,n是一元二次方程 x² +2x-5=0 的两个根，则m²+ mn+2m的值为( ) A.0 B. -10 C.3 D.10 7. 已知x₁,x₂是方程 x²-x-2022=0 的两个实数根，则代数式 的值是( ) A.4045 B.4044 C.2022 D.1 8. 已知关于x的一元二次方程 x²-2x-a=0 的两根分别记为x₁，x₂，若 x₁ = -1,则 的值为( ) A.7 B. -7 C.6 D. -6 知识点3用一元二次方程的根与系数的关系求字母的值 9. 已知关于x的一元二次方程 x²-kx+k-3=0 的两个实数根分别为x₁， x₂,且 则k的值是( ) A. -2 B.2 C. -1 D.1 10. 若关于x的一元二次方程 x²-2mx+m²-4m-1=0 有两个实数根x₁，x₂，且(x₁+2)(x₂+2)-2x₁x₂=17, 则m=( ) A.2或6 B.2或8 C.2 D.6 易错点 忽视判断一元二次方程的根与系数的关系的应用条件而致错 11. 已知x₁,x₂是关于x的方程 x²-2x+k-1 =0的两实数根，且 则k的值为 . 素养提升练 思维发散练 利用根与系数的关系求两根满足某个关系式时字母的值 12. 已知关于x的一元二次方程 x²-2x-3m²=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5,求m的值. 命题新趋势1利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值 13.已知关于x的一元二次方程 x²-2(1-m)x+ m²=0. (1)若该方程有实数根，求m的取值范围； (2)若m= -1时,方程的根为x₁,x₂,求 的值. 命题新趋势2利用换元法求与根与系数的关系相关的代数式的值 14.阅读材料： 材料1 为了解方程 (x²)²-13x² +36 =0,如果我们把x²看作一个整体，然后设 y=x²,则原方程可化为 y²-13y+36=0, 经过运算，原方程的解为 我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法. 材料2 已知实数m，n满足 m²-m-1=0, n²-n-1 =0, 且m≠n,显然 m,n是方程 x²-x-1=0的 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n=1, mn= -1. 根据上述材料，解决以下问题： (1) 直接应用：方程 x⁴- 5x² + 6 = 0 的解为 . (2)间接应用：已知实数a，b满足：:2a⁴ -7a²+1=0,2b⁴-7b²+1=0 且a≠b,求a⁴+b⁴的值. 拓展应用：已知实数m，n满足： n²-n=7 且n>0,求 的值. 1.3 2. B 3. B 4. B 5. 10 6. A 7. A 8. B 9. D 10. A 11.2 【点拨】∵x₁,x₂是