精品解析：上海市静安区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

静安区2022学年第二学期高一年级 数学期末区统考 一.填空题（本题共8道小题，每小题4分，满分32分） 1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______. 2. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为______. 3. 若，则的值为______. 4. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为______. 5. 设某新鲜食物每存放一天，剩余的营养成分是前一天的，当剩余的营养成分不足新鲜时的一半时，该食物就不能食用了.则该新鲜食物最多存放______天.（结果精确到1天） 6. 设向量，，且，则函数的值域为______. 7. 若点是的重心（中线的交点），则用向量表示为______. 8. 已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为______. 二.单选题（本题共3道小题，每小题4分，满分12分） 9. 在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角； ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等； ④相等的角终边一定重合. 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 11. 设，表示满足最小正整数，则的值（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 三.解答题（本题共5道题，满分56分） 12. 设数列为等差数列，已知，， （1）求； （2）设，求的值. 13. 设复数，，其中.现复数系中定义一个新运算，规定：. （1）已知，求实数的值； （2）现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题真命题还是假命题，并说明理由. 14. 如图，某人位于临河公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，. （1）求、两点之间的距离； （2）假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长. 15. （1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数. 16. 如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为. （1）记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； （2）设，，求； （3）请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静安区2022学年第二学期高一年级 数学期末区统考 一.填空题（本题共8道小题，每小题4分，满分32分） 1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】, 故答案为：. 2. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用弧长公式即可求解. 【详解】因为一个扇形的弧所对的圆心角为，所以圆心角的弧度数为， 所以该扇形弧长为. 故答案为：. 3. 若，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式化简原式，可得，再平方化简即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 故答案为：. 4. 已知是实系数一元二次方程一个根，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将代入一元二次方程求解即可. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以，化简得：， 则， 故答案为：. 5. 设某新鲜食物每存放一天，剩余的营养成分是前一天的，当剩余的营养成分不足新鲜时的一半时，该食物就不能食用了.则该新鲜食物最多存放______天.（结果精确到1天） 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意得到，再利用对数运算求解. 【详解】解：由题意得：， 两边取对数得， 即，解得， 故答案为：6 6. 设向量，，且，则函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标运算和二倍角公式，先化简出，进而求出值域. 【详解】, 因为，则，， 故答案为：. 7. 若点是的重心（中线的交点），则用向量表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合三角形的重心定理即可得到结果. 【详解】如图所示，分别为的中点，则，且为的重心， 所以. 故