第一章空间向量与立体几何 学业水平测试(A卷)-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章（空间向量与立体几何）学业水平测试卷(A卷) (时间：90分钟，满分：100分) 一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则有 A．向量a，b一定共面 B．向量a，b一定共线 C．c＝xa＋yb，且x＋y＝1 D．若p＝xa＋yb＋zc，且x＋y＋z＝1，则向量p，a，b，c共面 2．下列等式一定正确的是 A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，则下列说法错误的是 A．点P关于坐标原点对称点的坐标为(－1，－2，－3) B．点P在x轴上的射影点的坐标为(1，0，0) C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为(1，－2，－3) D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为(0，2，3) 4．设u＝(2，1，－2)是平面α的法向量，a＝(－3，8，1)是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是 A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．平行或在平面内 5．已知向量a＝(0，1，0)，b＝(3，0，2)，c＝(2，1，－3)，则有 A．a＝c－b B．|a|＋|b|＝|c| C．a·b＝b·c＝c·a D．b⊥(a－c) 6．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则△ABC的面积为 A． B． C． D．7 二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 7．若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )． A．a，a＋b，a－b B．a，b＋c，b－c C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c 8．在四面体P－ABC中，下列命题中正确的是( )． A．若，则 B．若Q为△ABC的重心，则 C．若，，则 D．若四面体P－ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则 三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上． 9．已知点A(2，0，1)，点B(10，4，13)，若点C满足，则点C的坐标为______． 10．已知向量{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，向量{a，b＋c，b－c}是空间的另一个基底．若向量p＝2a＋2b＋2c，则用基底{a，b＋c，b－c}表示向量p为______． 11．设向量a＝(1，－1，0)，b＝(3，4，5)，则向量a在向量b上的投影向量坐标为______． 12．在三棱锥P－ABC中，点G是△ABC的重心，已知，，，则向量________(用a，b，c表示)． 13．在空间直角坐标系中，已知三点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是________，一个单位法向量是________． 四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．(8分)空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，用a，b，c表示． 15．(10分)如图，四边形ABEF和CDFE是两个全等的菱形，平面ABEF⊥平面CDFE，AB＝2，∠BAF＝∠ECD＝60°． (1)求证：BD⊥DC； (2)求直线BD和平面BCE所成角的正弦值． 16．(10分)如图，四棱锥P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，BC⊥平面PCD， DA∥BC，CB＝CD＝CP＝3AD＝3．点F为PA的中点，点E在CD上，且CE＝1． (1)求证：BE⊥CF； (2)求平面ABP与平面BPC夹角的余弦值． 17．(10分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O为AC中点． (1)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值； (2)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置． 18．(10分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF＝1，M是线段EF的中点，平面ADF与平面DFB的夹角为60°． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)试在线段AC上找一点P，使得PF与CD所成的角是60°． 参考答案 一、单项选择题． 1．A． 2．A． 3．C． 4．D． 5．D． 6．B． 二、多项选择题． 7．BC． 解析：因为{a，b，c}构成空间的一个基底，所以向量a，b，c不共面． 对于A，因为a＝(a＋b)＋(a－b)，所以向量a，a＋b，a－b共面，故A不正确． 对于B，可以证明向量a不能表示为p(b＋c)＋q(b－c)(其中p，qR)的形式，所以向量a，b＋c，b