第三章圆锥曲线的方程 学业水平测试卷(A卷)-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章（圆锥曲线的方程）学业水平测试卷(A卷) (时间：90分钟，满分：100分) 一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线的渐近线方程是 A． B． C． D． 2．已知点P是椭圆上任意一点，O为原点，若M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 A． B． C． D． 3．若双曲线(为非零常数)的离心率是，则双曲线的虚轴长是 A．16 B．12 C．8 D．6 4．若点(1，a)在椭圆内，则实数a的取值范围是 A． B．(－1，1) C． D． 5．抛物线y＝x2上到直线x－y－1＝0距离最小的点的坐标为 A．(0，0) B．(1，1) C． D． 6．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则△PF1F2的面积为 A．1 B．4 C．6 D．9 二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 7．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则 A．抛物线的准线方程为x＝－1 B．若，则，，成等差数列 C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D．若∣AC∣＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 8．已知P是双曲线C：上任一点，A，B是双曲线上关于原点对称的两点．设直线PA，PB的斜率分别为1，2(12≠0)，若∣1∣＋∣2∣≥t恒成立，且实数t的最大值为．则下列说法正确的是 A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为2 C．函数y＝loga(x－1)(a＞0，a≠1)的图象恒过C的一个焦点 D．直线2x－3y＝0与C有两个交点 三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上． 9．若双曲线是等轴双曲线，则a＝__________． 10．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________． 11．已知A，B两点在抛物线y2＝2x上．若OA＝OB，OA⊥OB(O为原点)，则△OAB的面积为__________． 12．过点P(2，1)作直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的方程是__________． 13．若点O和点F分别为椭圆的中心和右焦点，点P为椭圆上任意一点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．(8分)求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，离心率为，两顶点间的距离为6； (2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点． 15．(10分)如图，椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为B2，B1．点M是OB2(O为原点)的中点，AM⊥B1F，求椭圆的离心率． 16．(10分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2． (1)点P在抛物线上，且｜PF｜＝5，求点P的坐标； (2)直线y＝x－2交抛物线于A，B两点，求｜AB｜． 17．(10分)如图，已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线的右支上，点M是线段PF1的中点． (1)若点M在y轴上，求｜PF1｜； (2)若PF1与圆x2＋y2＝1相切于点T，求｜MO｜－｜MT｜(O为原点)． 18．(10分)已知椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为，P是椭圆上任意一点，满足∣PF1∣＋∣PF2∣＝． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线y＝x＋m与椭圆C相交于不同的两点M，N，且B(0，－1)，是否存在实数m，使得∣BM∣＝∣BN∣？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、单项选择题． 1．C． 2．A． 3．C． 4．D． 5．D． 6．B． 二、多项选择题． 7．ABD． 提示：把点B(1，2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确． 因为A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F(1，0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0，2)，＝(x2－1，y2)． 又由，得x1＋x2＝2，所以＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2，即，，成等差数列，故B正确． 因为A，F，C三点共线，所以直线斜率AF＝CF，即，所以，化简得y1y2＝－4，故C不正确． 设AC的中点为M(x0，y0)，因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确． 故选ABD． 8．AC． 提示：设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，x≠±x0，则