28.4 垂径定理 教案2022-2023学年冀教版数学九年级上册

28.4垂径定理 教材分析 垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据.通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育. 教学目标： 1、会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理； 2、能利用垂径定理进行相关的计算和证明； 3、通过观察、比较、推理、归纳等活动，培养推理能力及概括问题的能力; 4、培养学生积极探索数学问题态度及方法。使学生体验知识和发展探索和解决问题的过程，让学生品尝成功的喜悦，从而激发求知的热情． 教学重点： 垂径定理的证明与简单应用 教学难点； 垂径定理的证明与简单应用，有关的添加辅助线的方法 教学手段： 希沃授课助手辅助教学 教 具： 多媒体 学 具： 透明的纸片制作的圆 教学过程 一、复习旧知，引入新课 思考：在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间有怎样的关系？ 师生活动：教师提出问题，学生回答. 设计意图：通过复习巩固这个性质，既为后面证明垂经定理作铺垫，又顺势引出新课. 2、 探究垂经定理 一体探究：如图，在⊙0中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB,垂足为E.如果将⊙0沿CD所在的直线对折.哪些线段重合，哪些弧重合？由此你能得到什么结论？ 师生活动：教师先让学生拿出课前准备的用透明纸制作的圆，将⊙0沿CD所在的直线对折，给学生充足的时间进行反复操作，仔细观察.之后叫个别学生展示结果，重合的线段容易发现，但重合的弧学生可能找不全，教师可让其他学生补充完成.最后让学生用文字语言归纳所得到的结论，这个问题有难度，教师先让学生独立思考，再让同桌交流，最后全班展示，教师引导归纳出结论，即垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 提问：这个命题是我们通过折纸活动，猜想得到的，它是真命题吗？ 师生活动：教师提出问题，学生思考，学生容易想到，这个命题是不是真命题，需要给出严谨的演绎推理才能验证. 追问1：如何证明这个命题呢？ 师生活动：教师引导学生证明这个命题，首先让学生结合图形说出命题的已知和求证，求证比较简单，已知学生可能说不完整，教师让其他学生补充完整.之后教师让学生独立书写证明过程，教师巡视，指导学困生并收集不同的证明方法.最后展示证明方法，教师先让某位学生讲解自己的方法，其他学生认真倾听，之后教师让其他学生点评并讲解不同的方法，估计学生主要用了两种方法，一是全等，二是三线合一.最后教师进行归纳，通过证明说明这个命题是真命题，那它就是定理，我们把它称之为垂经定理，教师顺势板书课题------28.4 垂经定理. 追问2：请同学们说出垂经定理的几何语言？ 师生活动：教师提出问题，学生口述，教师板书几何语言. 设计意图：利用这个探究活动，引导学生探究得到了垂经定理，在探究过程中，再次加深了学生对几何学习中，由活动、猜想、验证这个常用方法的理解，培养了学生推理能力和概括问题的能力. 大家谈谈: 如图，在⊙0中，直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. (1)若AM=BM,能判断CD⊥AB吗？弧AD与弧BD（或弧AC与弧BC） 相等吗？说出你的理由. (2) 若弧AD与弧BD（或弧AC与弧BC）相等，能判断CD⊥AB吗？AM与BM相等吗？ 说出你的理由. 师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再让学生进行讲解，这两个问题学生比较容易回答，用到的方法可能是三线合一和垂经定理，若学生使用了垂经定理，教师需注意条件是否完整，要及时点评. 提问：通过刚才的说理，说明这两个结论是成立的.请同学们对比垂经定理和这两个结论，找出他们的相同点和不同点，由此你能得到怎样的结论？ 师生活动：教师先让学生独立思考，学生回答这个问题比较困难，教师需引导学生归纳出结论. 设计意图：利用这个问题，加深学生对垂经定理的理解，培养用垂经定理的方法.而且通过论证培养学生思维逻辑能力，体验探究知识的过程，提高语言归纳能力. 3、 跟踪练习 1.如图所示,AB是⊙0的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是(　 　) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=BE D.= 2.如图所示,已知CD为⊙0的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E. (1)若ED=2,OA=5,则AB= ; (2)若AB=8,OA=5,则ED= . 3.已知：如图,在⊙0中，CD为⊙0的直径，AB为⊙0弦,CD⊥AB,垂足为E.求证：AC=BC. ( 第 3 题 ) ( 第2题 ) ( 第1题 ) 师生活动：教师先让学生独立思考，教师巡视，指导学