1.4.1充分条件与必要条件 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑短语 1.4.1 充分条件与必要条件 1 在初中，我们学习过命题，什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？命题通常写成什么形式？你能举出一些例子吗？ 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 1.对角线互相垂直的四边形是菱形； 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3.若 ，则 ； 4.若 ，则 ； 5. . 2 中学数学中的许多命题可以写成“若 ，则 ”、“如果 ，那么 ”等形式．其中 称为命题的条件， 称为命题的结论．本节主要讨论这种形式的命题．下面我们将进一步考察“若 ，则 ”形式的命题中 和 的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语———充分条件、必要条件和充要条件． 自主学习 请同学们阅读教科书第17页“思考”，判断“思考”中的四个命题的真假. 3 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 ∥ . 解： （1）真命题； （2）假命题； （3）假命题； （4）真命题. 你是如何判断一个命题是真命题还是假命题的？ ? 对于命题（1）和命题（4），由条件 通过推理可以得出结论 ，所以他们是真命题. 对于一般的“若 ，则 ”形式的命题，如果由 通过推理可以得出 ，那么这个命题一定是真命题吗？反过来，如果这个命题是真命题，一定能够由 通过推理得出 吗？ ? ? 同样地，你是如何判断命题（2）和命题（3）是假命题的？ 4 自主学习 请同学们阅读教科书第17页剩余部分内容到18页第一行，回答下面的问题： 若命题“若 ，则 ” 为真命题，就是____（能/不能）由 通过推理推出 成立，就称___是___成立的充分条件，___是___成立的必要条件，记作________； 若命题“若 ，则 ” 为假命题，就是____（能/不能）由 通过推理推出 成立，就称___不是___成立的充分条件，___不是___成立的必要条件，记作________ . 能 不能 5 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 ∥ . 前面“思考”中的四个命题中， 分别是 的什么条件？ ? （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 ， 为无理数，则 为无理数． 例1 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？ 6 “若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形” 由例1中的命题（1）： “这个四边形是平行四边形”的一个充分条件是________________________ 四边形的两组对角分别相等 ? “四边形是平行四边形”的充分条件唯一吗？你还能写出它的其它充分 条件吗？ ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形． ? 以上命题是我们学习过的关于“四边形是平行四边形”的什么定理？ 你能列出命题（2）“两个三角形相似”的其它充分条件吗？ 你有哪些体会？ 7 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则 ， 为无理数． 例2 ? “四边形是平行四边形”的必要条件唯一吗？你还能写出它的其它必要 条件吗？ ①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等； ②若四边形是平