1.2空间向量基本定理 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.2空间向量基本定理 复习导入： 1.平面向量基本定理： 如果e,e,是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这 一平面内的任意一向量，有且只有一对有序实数对(2,22)， 使d=2e1+入，e2 a 2.类似地，任意空间向量能否用任意三个不共面的向量 a,b,c来表示呢？ 学习新课： 1空间向量基本定理 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊 情况开始讨论 如图，设i,,k是空间中三个两两垂直 的向量， 且表示它们的有向线段有公共起点O, 对于任意一个空间向量币=0迟， 设00为OP在i,j所确定的平面上 的投影向量，则Op=00+Q, 又QP与共线，存在唯一实数z, 使0P=zk,从而0P=00+zk, 由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序实数对 (x,y,使得00=xi+项 从而0驴=00+z求=xi+疗+水 因此，如果i,,是空间三个两两垂直的向量，那么对 任意一个空间向量卫，存在唯一的有序实数组(x,y,z, 使得，币=xi+j+zk 我们称xi,j,zk分别为向量p在i,j,k上的分向量. 思考： 你能证明唯一性吗？ 证明： 假设除(x,y,z外，还存在有序实数组(x',y',z), 使币=x'i+y+z' xi+y听+zK=xi+疗+zK,不妨设x'≠x :(x-xi=(y-y疗+2-z泥，元，j,洪面，与已知矛盾 两边同除以(x'-x,得 -+ .有序实数组(x,y,z 是唯一的. 探究： 在空间中，如果用任意 三个不共面的向量a,b,c 代替两两垂直的向量，方，飞，你能得出类似的结论吗 类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理. 定理： 如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p, 存在唯一的有序实数组(x,y,z,使得 p=xa+yb +zc 由此可知，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有的空间向量组成 的集合就是{万=xa+6+z元，x,,z∈R} 这个集合可看作由向量a,b,c生成的， 我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量 空间任意三个不共面的 向量都可以构成空间的一个基底 注意： 1.对空间向量基本定理的 两点说明 ()任意性：空间中任意一个向量可以用空间三个不共面的 向量线性表示 (2)唯一性：基底确定后，空间向量基本定理中实数组x,y,z 是唯一的， 2对基底的三点说明 (①)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个 向量，二者是相关联的不同概念 (2)基底的选择一般有两个条件： ①基底必须是不共面的 非零向量： ②在进行基底选择时，要尽量选择已知夹角和长度的向量： (3)如果三个向量不共面，就说明它们都不是零向量 2.空间向量的正交分解 特别地，如果空间的一个基底中 的三个基向量两两垂直 且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用后，j,表示 由空间向量基本定理可知，对空间的任意向量ā，均可 以分解为三个向量xi,j,zk,使ā=xi++zk. 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫做把空间向量进行正交分解 由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量 作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三 个基向量表示出来进一步地，所有空间向量间的运算 都可以转化成为基底间的运算，这为解决问题带来了 方便 例题分析： 例1.如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点， 点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 MN-ON,4P-3AN, 2 4 用向量0MD8,DC表示OR 分析向量òXO8,DK是三个不共面的向量 它们构成空间二个基底0,080C: 解：DR=D风+识 3x-Om 4 43 M 2 =M+òN-00 4+N 2 2 .10C 变式练习： 如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点， 点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 MN -ION,4P-3 AN, 2 4 M 用向量汉水汉表示0R B 解：R=识汉 =4视+4水子汉 4 基底选定后，空间任 +号 3 向量由基底唯一表示， 3 但基底不是唯一的， 2 选不同的基底，同一 汉+2*+N 向量的表示不同.