四类不同排列组合问题 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

四类不同排列组合问题 高中数学教师欧阳文丰 一、“多面手”问题 例1　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 解　由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语. 方法一　分两类. 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法. 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法. 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法. 方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语. 第一类：甲入选. (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法. 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 第二类：甲不入选.可分两步. 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法； 第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法. 由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法. 综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法. 例2.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能 能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人 唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 一个有关“多面手”组合问题的四种解法 高中数学教师欧阳文丰 本题可以有如下4种分类标准： *以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可以得到正确结果 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_______ 34 变式练习1 2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人, 他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这5人共有多少乘船方法. 27 变式练习2 二.定序问题倍缩空位插入策略 例3.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少种不同的排法 解: （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有 种方法，其余的三个 位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法 1 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法 4*5*6*7 练习题 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前 考,有多少种不同的安排顺序? (倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是： 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 入模型处理 三.环排问题线排策略 例4. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即 A B C E D D A A B C E （5-1)！ 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 60 设六颗颜色不同的钻石为a,b,c d,e,f.与围桌而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数为：[(6－1)!]/2＝60 要考虑“钻石圈”可以翻转的特点 四.多排问题直排策略 例5.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 个特殊元素有____种,再排后4个位置上的 特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置 上任意排列有____种,则共有_________种.