2.1.1 倾斜角与斜率 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 在平面直角坐标系中，结合图形，确定直线位置的几何要素。 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握直线方向向量的应用。 3.掌握过两点的直线斜率想计算公式 4.核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算 一、情境导入 解析几何 解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的，数学从此进入变量数学时期，为微积分的创建奠定了基础。它的基本内涵和方法是： 通过坐标系，进行数形结合，建立曲线方程，从而将几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质。 二、新课讲授 1、倾斜角 问题1：确定一条直线位置的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线如何利用坐标系来确定它的位置？ 过两点： 有且只有一条直线 过一点： 有无数条直线 • • • 方向 过两点，有且只有一条直线 • • 两点， 一点和一方向 方向向量 问题2：如何表示直线的方向？ 规定：水平直线的方向向右 规定：直线的方向向上 • 当直线与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线向上的方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角。 规定：当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0° 0°≤α＜180° 直线方向不同 倾斜角不相等 2、斜率 问题3：直线的倾斜角α与( )， 有什么内在联系？ • • 在平面直角坐标系中，设直线与倾斜角α. (1)已知直线经过点O(0,0)， P(,1) ， α 与点O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线经过点( ), ， α 与点， 的坐标有什么关系？ (1)已知直线经过点O(0,0)， P(,1) ， α 与点O，P的坐标有什么关系？ • P(,1) 向量=(,1) 直线OP的倾斜角为α 由正切函数的定义，有 α== (1)类似地，如果直线经过点( ), ， α 与点， 的坐标有什么关系？ 向量=(,1) P的坐标为(,1) 由正切函数的定义，有 α== • ( ) • () 直线OP的倾斜角为α • P 问题3：直线的倾斜角α与( )， 有什么内在联系？ • • • • P • 当向量向上时， =(,) P的坐标为(,) 由正切函数的定义，有 α= 直线OP的倾斜角为α 当时，直线倾斜角为90°，上式无意义 当直线与x轴平行或重合时， α=0° 符合α= 综上，直线的倾斜角α与直线上的两点( )， （ ）的坐标关系如下： α= α刻画了直线的倾斜程度 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope），斜率常用小写字母表示，即α 在日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度： 当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的。 因为α，即是一个关于α的正切函数，则可得函数图象 0°≤α＜180° α=0° ⇔ =0 0° <α<90° ⇔ ＞0 α=90° ⇔ 不存在 90° <α<180° ⇔ ＜0 当倾斜角α满足0°≤α＜90°且逐渐增大时，斜率逐渐增大； 当倾斜角α=90°时，斜率不存在； 当倾斜角α满足90° ＜ α＜180°且逐渐增大时，斜率逐渐增大. 14 由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同. 因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向. α ⇔ 形 数 又α=， = 即，可由直线上两点的坐标得到直线的斜率. 15 问题4：直线方向向量与斜率有什么联系？ • • =(,) 当时，直线与x轴不垂直，其一个方向向量为： =（1， ） 因此，若直线的斜率，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则 当时，直线与x轴垂直，其一个方向向量为(0,1) 小结: • • 倾斜角α 两点( )， 倾斜角 方向向量（x，y） α= α = 例1 如图，已知A(3,2)，B(4,1)，C (0, 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 三、巩固新知 解：直线AB的斜率== 直线BC的斜率==- 直线CA的斜率==1 由＞0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由＜0可知，直线BC的倾斜角为钝角. 四、课堂小结 五、作业布置 课本P55：练习 第3、5题 直线 坐标点 倾斜角 方向向量 直线位置的几何要素 、形 斜率 数形结合 化归转化 几何问题 代数问题 $