11.2.1.2 直角三角形的性质与判定学案 2023—2024学年人教版数学八年级上册

11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的性质与判定 【知识重点】 1.直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余 . 几何语言：在△ABC中， ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. 2.直角三角形的表示 直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC可以写成Rt △ABC. 注意：“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”. 3.直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三 角形. 特别解读：在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解. 【经典例题】 【例1】如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______. 解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数. 【例2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形. 解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可证明该三角形为直角三角形. 【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥AB. 解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD，AB 的夹角为直角. 【同步练习】 一、选择题 1．把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为(　　) A.65° B.60° C.45° D.30° 第1题图　 第2题图 第5题图 2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(　　) A．1个 　　 B．2个 C．3个 　　D．4个 3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　) A．120° 　B．90° 　 C．60° 　 D．30° 4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 5．【2021·毕节】将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为(　　) A．70° 　　B．75° C．80° 　　D．85° 6．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是 (　　) A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＋∠B＝2∠C C．∠A＝∠B＝30° D．∠A＝∠B＝∠C 7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C 8．直角三角形的三个内角的度数之比可以是 (　　) A．2∶3∶4 B．3∶4∶5 C．4∶5∶6 D．3∶3∶6 9．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(　　)度． A．70 B．65 C．60 D．55 第9题图　 第13题图 第14题图 10．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 (　　) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C 二、填空题 11．直角三角形的两个锐角________．直角三角形可以用符号“________”表示，直角三角形ABC可以写成__________． 12．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是 . 13．如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是 . 14．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 . 三、解答题 15．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？ 16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45