第一章 空间向量与立体几何 章末重难点归纳总结-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 章末重难点归纳总结 考点一 空间向量的线性运算及数量积 【例1】（2023春·江苏连云港）平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则（    ） A． B．2 C． D．10 【一隅三反】 1．（2023河南新乡）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2023北京）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2022·高二课时练习）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期末）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（    ） A． B． C． D． 考点二 空间向量的基本定理 【例2-1】（2023春·江苏南通）已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】．（2023春·高二单元测试）已知是空间的一个基底，若，，则（  ） A．是空间的一个基底 B．是空间的一个基底 C．是空间的一个基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一个基底 【一隅三反】 1．（2023春·河南周口）三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·高二单元测试）（多选）下列各组向量中共面的有（　　） A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5） B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2） C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1） D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1） 4．（2023甘肃）（多选）下列命题正确的是（　　） A．若，则与共面 B．若与共面，则 C．若＝x＋y，则M，P，A，B共面 D．若M，P，A，B共面，则＝x＋y 考点三 空间向量运算的坐标表示 【例3】（2023广西）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．） D．与夹角的余弦值为 【一隅三反】 1．（2023广东）若，且为共线向量，则的值为（     ） A．7 B． C．6 D．8 2．（2023福建）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·高一单元测试）设，则AB的中点M到点C的距离（    ） A． B． C． D． 考点四 空间向量与立体的综合运用 【例4-1】（2023春·新疆阿勒泰）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．      (1)证明：平面平面PBC； (2)当时，求二面角的余弦值． 【一隅三反】 1．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，二面角的大小为，是中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 2．（2023春·浙江）在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面平面； (2)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2023春·重庆长寿）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点． (1)求证：EF∥平面PBC； (2)求证：平面PBD⊥平面PAC． (3)若，求二面角的平面角的余弦值. 考点五 动点和轨迹问题 【例5-1】（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为 .    【例5-2】（2023春·上海宝山）已知、分别是正方体的棱、的中点，求：    (1)与所成角的大小； (2)二面角的余弦值； (3)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由. 【一隅三反】 1．（2023春·河北保定）（多选）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，P为底面ABCD内（包括边界）一动点，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与平面没有公共点，则点P的轨迹长度为 B．若，则点P的轨迹长度为 C．二面角B—EF—D的正切值为 D．过E，F，C的平面截该正方体所得截面为五边形 2．（2023春·山东枣庄），分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面