1.4 空间向量应用（精讲）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4 空间向量的应用（精讲） 考点一 直线的方向向量 【例1-1】（2023春·江西）若，在直线上，则直线的一个方向向量为 （    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2022秋·高二单元测试）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【一隅三反】 1．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量： . 3．（2022·高二课时练习）若向量，都是直线的方向向量，则 ． 考点二 平面的法向量 【例2-1】（2023广东湛江）已知，则下列向量是平面法向量的是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2022·高二课时练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，建立适当的空间直角坐标系，并求平面和平面的法向量．    【一隅三反】 1．（2023云南）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量. 2．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 3．（2023山东）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    考点三 空间向量证平行 【例3-1】（2023·北京）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（    ） A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【例3-2】（2023·上海）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．证明：平面. 【例3-3】（2023·广西）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.    【一隅三反】 1．（2023·福建福州）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面. 2．（2023春·高二课时练习）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面. 考点四 空间向量证垂直 【例4-1】（2023·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．    【例4-2】（2023山西）如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：    (1)平面平面； (2)平面. 【例4-3】（2023新疆）如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【一隅三反】 1．（2023春·高二课时练习）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，.求证：. 2．（2022·高二课时练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 考点五 空间角 【例5-1】（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.    (1)求证：平面； (2)若，求与所成角的余弦值. 【例5-2】（2023黑龙江）如图所示，在直角梯形中，，，边上一点满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示.    (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值. 【例5-3】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【一隅三反】 1．（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·河南焦作·高二统考期末）如图，在长方体中，，交于点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2023春·江苏南通·高二统考阶段练习）如图，三棱锥中，平面，线段的中点为，，且.    (1)证明：平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 考点六 空间距离 【例6-1】（2023春·江苏淮安·高二统考期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A