2023年湖北省高中数学竞赛预赛模拟试卷

2023年高中数学竞赛模拟试卷(预赛) 一、填空题(本大题共8小题,共64.0分) 1. 已知复数,,满足,,其中是给定实数,则的实部是_用含有的式子表示. 2. 设,为的展开式的各项系数之和,表示不超过实数的最大整数,则的最小值为_ . 3. 若是函数的极值点,数列满足,,设,记表示不超过的最大整数.设,若不等式对恒成立,则实数的最大值为_. 4. 已知函数在上严格单调递减,对任意,均有,记,,则函数的最小值为_ . 5. 作为数学常数,它的一个定义是,其数值约为:,梓轩在设置手机的数字密码时,打算将的前位数字:,,,,进行某种排列得到密码,如果要求两个不相邻,那么梓轩可以设置的不同密码有 种以数字作答. 6. 函数在上的图象是连续不断的一条曲线,并且关于原点对称,其导函数为,当时,有成立,若对,不等式恒成立,则正整数的最大值为_ . 7. 如图,在矩形中,,,分别为边,的中点,,分别为线段不含端点和上的动点,满足,直线,的交点为,已知点的轨迹为双曲线的一部分,则该双曲线的离心率为_. 8. 如图,正方体的顶点在平面上,若和与平面都成角,则与平面所成角的余弦值为_. 二、解答题(本大题共3小题,共56.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 9. 本小题分 已知,且. 若是恒成立,求的取值范围; Ⅱ证明:. 10. 本小题分 设椭圆过点,且左焦点为. 求椭圆的方程; 内接于椭圆,过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点,与交于点,满足,求面积的最大值. 11. 本小题分 已知数列中,,. 求证:数列是等比数列; 数列满足的,数列的前项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $