立体几何中的翻折问题 讲义——2024届高三数学一轮复习

立体几何中的翻折问题 一．基本内容 以如图所示的筝形为例，将面沿着翻折，那么翻折过程的基本规律： 1.作，则顶点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，且在底面的投影在直线. 2.点到底面距离的最大值当且仅当在底面的投影为，即面面. 3.三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是 它和这条斜线在平面上的投影垂直. 注：由于我们清楚了翻折过程中顶点在底面投影的轨迹，这样就可通过顶点在底面的射影来分析一些位置关系，这就自然用到了三垂线定理. 4.若两平面垂直，则一个面内所有点在另一个面内的投影一定在两平面的交线上！ 二．例题分析 题型1.利用三垂线定理判断异面垂直 例1．已知矩形．将沿矩形的对角线 所在的直线进行翻折，在翻折过程中 A．存在某个位置，使得直线与直线 垂直 B．存在某个位置，使得直线与直线 垂直 C．存在某个位置，使得直线与直线 垂直 D．对任意位置，三对直线“与 ”，“与 ”，“与 ”均不垂直 解析：如图，过A作BD的垂线，则顶点A的轨迹为AE.根据三垂线定理， 欲使得直线与直线 垂直，只需使得AE存在一点G使得GC垂直于BD，不存在； 欲使得直线与直线 垂直，只需使得AE存在一点G使得GB垂直于BD，不存在； 欲使得直线与直线 垂直，只需使得AE存在一点G使得GD垂直于BC，当在E时满足；故选了C. 例2．如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是______． ①翻折到某个位置，使得 ②翻折到某个位置，使得平面 ③四棱锥体积的最大值为 ④点M在某个球面上运动 解：对于①，由题知，若存在某个位置使得，由于，平面，所以平面，又平面，即，由于，故，由于在折叠过程中，，所以存在某个位置，使得， 故存在某个位置，使得，故①正确； （三垂线视角）由于在底面投影为，且，故当在底面投影为时， . 对于②，若存在某个位置，使得平面，因为平面，所以，另一方面，在矩形中，，故不成立，所以②错误； 或者由②的三垂线视角，显然矛盾. 对于③，四棱锥体积的最大时，平面平面， 由于是等腰直角三角形，所以此时点到平面的距离为，所以四棱锥体积的最大值为，故③正确； 对于④，取中点，连接，由于为线段的中点，所以，所以在以点为球心的球面上，故④正确． 故答案为：①③④． 题型2.利用体积最值考察面面垂直 例3．在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________． 解析：过点C作，垂足为E，为等腰梯形， ，，由余弦定理得，即 ，，易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，此时，平面，易知， ，，记O为外接球球心，半径为R 平面，，O到平面的距离.又的外接圆半径为1. ，故答案为：， 题型3.翻折问题中的范围问题 例4．在中，已知，，，是边上一点，将沿折起，得到三棱锥，若该三棱锥的顶点在底面的射影在线段上，设，则的取值范围为　　． 解析：中由余弦定理得：已知，，， ，所以为等腰直角三角形，如下图所示．沿折起， 若该三棱锥的顶点在底面的射影在线段上时，如图，面，过点作，则，故， 折叠前在图中于点，在图中过作于，动点与无限接近时，折痕接近，这时接近，在图中，是的斜边，所以，，中，，，； 故答案为：，． 例5.如图，一张纸的长，宽，.M，N分别是AD，BC的中点.现将沿BD折起，得到以A，B，C，D为顶点的三棱锥，则三棱锥的外接球O的半径为___________；在翻折的过程中，直线MN被球O截得的线段长的取值范围是___________. 解析：由于和都是直角三角形，所以两个面的外接圆圆心都在BD的中点处， 因此三棱锥的外接球O的球心O在BD的中点， 则半径， 直线MN被球O截得的线段长与二面角的大小有关， 当二面角接近时，直线MN被球O截得的线段长最长，趋于直径， 当二面角接近时，直线MN被球O截得的线段长最短， 如图翻折后，此时，所以 由相似比可得，所以，直线MN被球O截得的线段长，综上直线MN被球O截得的线段长的取值范围是. 题型4.矩形翻折与外接球 例6．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（    ） A． B． C． D．不确定的实数 解析：设矩形的边长分别为、，则，所以矩形周长， ，，当且仅当时取等号， 矩形周长最小时，，，， 因为外接球的半径，外接球表面积． 故选：B． 三．练习题 1.将边长为2，锐角为的菱形沿较短对角线折成四面体，点，， 分另，，的中点，则下列命题中正确的是　②③④　．（将正确的命题序号全 填上） ①；②是异面直线与的公垂线； ③平面；④垂直于截面