1.1.2空间向量的数量积 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算(2) 一空间向量的数量积 复习导入： 1.平面向量的数量积是怎样定义的？ 平面内两个非零向量a,b 平面内任意一点O 作向量òN=a,ò8=b, LA0B叫向量a,b的夹角.记作：a,b》 《a,b)∈o, B 把cos(a,b叫做a,b的数量积. 2.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的 向量因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量 那样来定义了 学习新课： 1.空间向量夹角 a 如图，空间内两个非零向量a,b 在空间内任意一点O, 作向量0N=a,08=6 则∠40B叫向量a,6的夹角，记作：(a,6) 如果a,）- 那么向量ā，b互相垂直，O 记作：a⊥b 规定：0≤(a,b)≤π 当a,)=0时，向量a,同向共线： 当(a,)=π时，向量a,五反向共线： ∴如果a∥6，(a,b)=0或元 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量a,b,则a5cos<a,6>叫做ā，6的数量积. 记作：a.b 即a.b=cos<a,6> 特别地，零向量与任何向量的数量积为0. 注意 向量的数量积是一个实数，其符号与向量的夹角有关 ①<a5>e0,oah>0 <a,b>为锐角时， ②<ā，6>=T台a-b=0a≠0，i≠0) a.b>0,且不同向共线： <a,b>为钝角时， ③<a,b>e 6<0 a·b<0,且不反向共线： 由数量积的定义，得 a⊥b分a.b=0 aa=aacos<a,a> aa也记作a =lala =la ….a2=ad 空间向量数量积的性质： ①a与b同向时，a-b=::a与6反向时，ab=-a5 ②d=va ③cos<a,b>= ab 5 ④la-lsl 3.空间向量的投影 思考： 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影在空间， 向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线的投影呢？ 向量a向平面B的投影呢？ 1)如图，向量向向量b投影 先将它们平移到同一个平面内， 进而利用平面上向量的投影，得 到与b共线的向量c, co. 称向量c为向量ā在向量b上的投影向量. (2)如图，向量ā向直线的投影 向量a向直线的投影与 向量a向向量b的投影类似 (3)如图，向量向平面B的投影 就是分别由向量的起点A 和终点B作平面的垂线， 垂足分别为，B',得到向 量4B 向量a,A'B的夹角就是 向量ā所在直线与平面B所成的角 4.空间向量数量积运算的 运算律 空间向量数量积满足如下的运算律： (2ab=元a.bb∈R; a.b=b.a; a+B-c-a.c+b.c 思考： ①对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量 a,b,c,由ab=dc,你能得到b=c吗？如果不能，举出反例 如图所示，在正方体ABCD-AB,CD中， AB.AA=AB.AD=0 但A≠A可 ②对于三个均不为0的数a,6c,若b=6则a-或b-对于 向最5，若石香=6能不能写成i{或6-合}的形式” 由a.6三k,不能写成ā二新 【或6的形式 向量没有除法运算 ③对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=abc,对于向量a,b,c, a.小c=a-6c)成立吗？什么？ a.小c=a..c不成立向量的数量积不满足结 合律. 例如：任意取三个不共 面的向量a,b,c,其中a,c不共线， a.b)c是一个数与向量c做数乘运算， .a,c不共线， a.6:c是一个数与向量a做数乘运算，(a小c≠a-6.c 5.例题分析 例1.如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中， AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°， ∠BAA'=∠DAA'=45°求： )ABA心，(2)AC'的长（精确到0.1D. ①8AD=|A.Aòcos<应，AD =5×3×c0s60°=7.5 (2A部=(B+而+A =A+++2丽.市+AB.+A心. =52+32+72+2(5×3×c0s60°+5×7×c0s45° +3×7×c0s45) =98+56√2 ∴.AC'≈13.3