3.7切线长定理 教案2022-2023学年 数学北师大版 九年级下册

第三章 圆 3.7 切线长定理 一、教学目标 探索并证明切线长定理，发展推理能力． 二、教学重点及难点 重点：切线长定理及其运用． 难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题． 三、教学用具 多媒体课件，圆规。 四、相关资源 微课，知识导图. 五、教学过程 【复习导入】 通过学习圆的切线的性质定理和圆的切线的判定定理，知道了过圆上任意一点都可以作该圆的一条切线，并且只能作一条．那么过圆外一点作圆的切线，能作几条呢？它们又有哪些性质呢？这节课我们就来探究这个问题． 师生活动：教师出示问题，学生尝试从圆外一点画圆的切线得出只能画2条的结论． 设计意图：回顾前面所学知识，引出本节课所学内容． 【探究新知】 议一议 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由． 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同得出答案． 答：（1）这个图形是轴对称图形，它的对称轴是过P点和圆心O的一条直线． （2）能，PA=PB；理由：如图，连接OA，OB，OP． ∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴∠PAO=∠PBO=90°． 在Rt△AOP和Rt△BOP中． ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP． ∴PA=PB． 教师也可引导学生用轴对称性来探索切线长定理． 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长． 注意：切线是直线，它是无限长的；切线长是用线段的长来定义的，这条线段的一个端点是切点，另一个端点是切线上的一点，不能笼统地说切线长，而应该说某点到圆的切线长． 结论：切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 设计意图：引导学生用轴对称性探究切线长定理，使学生加深对定理的理解，有助于学生记忆定理． 想一想 如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流． 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，学生得出答案． 答：利用切线长定理可得：圆外切四边形ABCD的两组对边之和相等，即AD+BC=AB+CD． 设计意图：利用切线长定理研究圆外接四边形边之间的关系，培养学生运用所学知识解决问题的能力和归纳总结能力． 【典例精析】 例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径． 师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同得出答案． 解：连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF，设OD=r． 在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，∴AB=． ∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD=BE，AD=AF，CE=CF． 又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形．∴CE=CF=r．∴BE=24-r，AF=10-r． ∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r．而AB=26，∴34-2r=26． ∴r=4，即⊙O的半径为4． 设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识，运用切线长定理和勾股定理解决问题． 【课堂练习】 1．如图，AE切⊙D于点E，若AC=CD=DB=10，则线段AE的长为（ ）． A． B．15 C． D．20 2．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ）． A．50 B．52 C．54 D．56 3．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，连接AB与PO，PO与⊙O交于点C，下列结论中，正确的有___________． ①PA=PB；②PO平分∠APB；③AB被OP垂直平分． 4．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°.连接AC，则∠A的度数是________． 5．如图，P是⊙O直径BC延长线上的一点，PA与⊙O相切于点A，CD⊥PB，且PC=CD，CD=3，则PB=________． 6．已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm．过点P画⊙O的两条切线，这两条切线的切线长= ． 7．已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE=2，CD=1，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆O的半径r． 师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题． 参考答案 1．C．2．B．3．①②③．4．35°． 5．+9．6．cm． 7