3.5圆周角（2）教案2023-2024学年数学浙教版九年级上册

3.5圆周角（2） 教案 课题 3.5圆周角（2） 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级（上） 学习 目标 1．运用圆周角定理的推论进行计算； 2．掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算 重点 圆周角定理的推论． 难点 例3涉及圆内角，圆外角与圆周角的关系，思路较难形成，表述也有一定的困难，是本节教学的难点． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 一、创设情景，引出课题 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ∠ABC = ∠AOC. 问题 如左图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么? 归纳： 圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 做一做 如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上.找出图中分别与∠1，∠2，∠3相等的角. 解：∠1=∠DBA ∠2=∠CAB ∠3=∠CBD 二、提炼概念 圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 思考 自议 利用在同一圆中同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化。 “作直径，造直角”，把一般三角形转化为直角三角形是解题常用的方法． 讲授新课 三、典例精讲 例2 已知: 如图，三角形ABC内接于圆, ∠ACB=2∠ABC,点D平分弧AB. 求证: AC=BD. ( ( ) ( ( )证明: 连接CD ∵ AD=BD （同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等） ∴ ∠ABC=∠BCD ( ( ) ( ( ) ∴ AC=BD （同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等） ∴ AC=BD 例3 如图 ，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝ 50°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？ 解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区． 所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°． 试一试：如图，AB是圆的一条弦，M是圆上一点，P是圆内一点，Q是圆外一点，点P，Q，M在直线AB同一侧。 求证：(1) ∠APB>∠AMB (2) ∠AQB<∠AMB 证明：(1)∵∠AP’B=∠AMB ∠AP’B<∠APB ∴ ∠APB> ∠AMB (2)∵∠AQ’B=∠AMB ∠AP’B>∠AQB ∴ ∠AQB<∠AMB 总结：某一条弦所在直线同侧的圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角. 利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，从不同的角度加以证明，同时用直径所对的圆周角是直角的推论，添加常用辅助线构建三角形全等，使问题得到解决． 增强学生观察和解决问题的能力。 课堂检测 4、 巩固训练 1．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O 的直径为 (　 　) A. B．2 C．2 D．4 答案：D【解析】 如图所示，作直径BD，连结AD，则∠BAD＝90°. ∵∠C＝∠D＝30°， ∴BA＝BD， 即BD＝2AB＝4. 2. ( A B C O )一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°,则这个人工湖的直为 . 答案： 3.如图所示，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是弦，且DF＝BE， 求证：∠D＝∠B. 【解析】 思路一：证明＝； 思路二：证明△ODF≌△OBE； 思路三：连结AE，CF，由∠A＝∠C，证明∠D＝∠B； 思路四：作OM⊥DF，ON⊥BE，证明Rt△ODM≌Rt△OBN； 思路五：连结BD，证明＝. 证明：方法一：∵CD，AB是⊙O的直径， ∴＝. ∵FD＝EB，∴＝， ∴－＝－， 即＝，∴∠D＝∠B. 方法二：如图所示，连结OF，OE. ∵OF＝OD＝OB＝OE， 又∵DF＝BE，∴△ODF≌△OBE， ∴∠D＝∠B. 方法三：如图所示，连结CF，AE， ∵DF＝BE，∴＝，∴∠C＝∠A. ∵CD，AB是⊙O的直径， ∴∠F＝∠E＝90°， ∴∠C＋∠D＝∠A＋∠B＝90°，∴∠D＝∠B. 方法四：如图所示，过O点作OM⊥FD于M，ON⊥BE于N. ∵DF＝BE，∴OM＝ON.∵OD＝OB，∴Rt△OMD≌Rt△ONB.∴∠D＝∠B. 方法五：如图所示，连结DB.∵OD＝OB， ∴∠1＝∠2.∴＝. ∵DF＝BE，∴＝，∴＝， ∴＋＝＋，即CF＝AE， ∴∠D＝∠B. 4.已知:四边形AB