3.5圆周角（1）教案 2022—2023学年浙教版数学九年级上册

3.5圆周角（1） 教案 课题 3.5圆周角（1） 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级（上） 学习 目标 1．理解圆周角的概念； 2．掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用其进行论证和计算； 3．通过圆周角定理的证明，了解分情况证明数学问题的思想方法． 重点 重点是圆周角定理. 难点 圆周角定理的证明要分三种情况讨论，有一定的难度，是本节教学的难点. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 一、创设情景，引出课题 如图, 已知足球比赛中球门PQ外有B1、B2、B3三点,你认为在哪一点位置对球门PQ的张角大? 在图中, ∠B1、∠B2、∠B3有什么共同特征？ 　 你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗? 圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 1 角的顶点在圆上. 2 角的两边都与圆相交. 辩一辩：下列各图中，哪一个角是圆周角？( ) 探究一 (   ) ( O B C A A A ) AB所对的圆心角有一个，圆周角有无数个. 探究1：如图，量出圆周角∠BAC与同弧上所对的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？ 探究2 当点A在弧BEC上移动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？画一画 探究3：量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？给出你的猜想? 并证明 猜想：∠BAC＝1/2∠BOC 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 证明猜想 已知：如图，∠BOC和∠BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角 求证：∠BAC=∠BOC. 证明：分三种情况进行证明 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 问题探究 1.如图所示，若AB是⊙O的直径，则半圆ADB所对的圆心角是哪一个角？角度是多少？ 答：∠AOB，180°. 2. ∠C是多少度？为什么？ 答：∠C=90°，一条弧所对的圆周角 等于它所对圆心角的一半. 3. 若已知∠C是直角，能否说明AB是⊙O的直径？为什么？ 答：若已知∠C是直角，则∠AOB=180°，所以点A,O,B在一条直线上，AB是⊙O的直径. 二、提炼概念 归纳： 1.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 2.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径． 思考 自议 圆周角必须具备的两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交，二者缺一不可． 学生思考进行分类证明，最后得出圆周角定理. 讲授新课 三、典例精讲 例1、如图 ，等腰三 角形ABC 的顶角∠BAC 为 50°，以 腰AB为直径作半圆，交BC为点D，交AC于点E，求弧BD，弧DE和弧AE的度数. 解： 连结BE，AD ∵ AB是圆的直径 ∴∠AEB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角) ∵∠BAC=50° ∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40° 又∵△ABC是等腰三角形， (   ) (   ) (   ) ( ⌒ ⌒   ) ( A B D C E ) 直径是构造直角的一个重要条件，一般是构造相关的弦，把直径所对的圆周角转化为90°的角，可以简单说成“有直径，造直角”． 增强学生观察和归纳总结的能力。 课堂检测 4、 巩固训练 1．如图所示，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是 (　 　) A．156° B．78° C．39° D．12° 答案：A 2.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为 (　 　) A．15° B．28° C．29° D．34° 答案：B 3.如图所示，弦AB把圆周分成1∶5的两个部分，那么弦AB所对的圆周角的度数是______________. 【解析】 先求出的度数，再通过同弧所对的圆周角和圆心角的关系，求所对的圆周角的度数，分点在的劣弧和优弧上两种情形． 当点P在劣弧上时，可知∠P＝150°， 当点P，在优弧上时，可知∠P＝30° ∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°. 4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E. (1)求证：AB＝AC； (2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长． 解：(1)连结AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°.∵DC＝BD，∴AB＝AC. (2)∵∠BAC＝60°，又由(1)知AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 在Rt△BAD中，∠BAD＝30°，AB＝8， ∴BD＝4，即DC＝4.