3.3垂径定理（2）教案2023-2024学年数学浙教版九年级上册

3.3垂径定理（2） 教案 课题 3.3垂径定理（2） 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级（上） 学习 目标 1.         进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义. 2.         利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题 重点 垂径定理的逆定理． 难点 例3的问题情境较为复杂，是本节教学的难点． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 1、 创设情景，引出课题 问题： 谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论. 巧手来做一做 在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM. 你能说说这样找的理由？ 想一想 垂径定理的逆命题是什么？ 逆命题1：平分弦的直径垂直于弦． 逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦． 已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP. 求证：CD⊥AB，= 证明：连结OA，OB，则OA=OB ∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE ∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一） = 归纳 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧. 探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。 已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，= 求证：CD⊥AB 归纳出：定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦. 如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说. 如果在下列五个条件中: 1 CD是直径, 2 CD⊥AB, 3 AM=BM, 4 = 5 = 只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论. 你可以写出相应的命题吗? 二、提炼概念 垂径定理的逆定理 定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________． 定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦． 垂直于弦,平分弦所对的弧,垂直平分 注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论． 思考 自议 经历观察、思考、推理和论证等过程，探索垂径定理的推论. 理解垂径定理的逆定理时，平分弦作为条件时，忽略不能为直径这一条件而出现错误； 讲授新课 三、典例精讲 例3 赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m). 解：弧AB表示桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交弧AB于点D. ∵C是弧AB的中点, ∴OC就是拱高. ∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51, OD=OC-DC=（R-7.23）. 在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31. 答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m. 总结： 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 抓住弦长的一半、弦心距(圆心到弦的距离)、弓形的高及半径之间的关系；已知其中的两个量可以用勾股定理求出另外两个未知量． 通过作半径(或弦心距)构造直角三角形． 课堂检测 4、 巩固训练 1.判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（ ） ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（ ） 答案： ⑴×（2）√（3）×（4）×（5）√ 2.如图所示，AB是半圆的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D.已知BC＝8 cm，DE＝2 cm，则AB的长为______cm. 【解析】 E是的中点，OE交弦BC于点D，∴OE⊥BC，CD＝BD＝4 cm.设OB＝x cm，则OD＝(x－2)cm.在Rt△ODB中，OD2＋BD2＝OB2，∴(x－2)2＋42＝x2，解得x＝5，2x＝10. 3．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧． (1)请你确定弧AB的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)如果已知石拱桥的桥拱的跨度(即弧所对的弦长)为24 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为8 m，求桥拱所在圆的半径．