3.3垂径定理（1）教案2023-2024学年数学浙教版九年级上册

3.3垂径定理（1） 教案 课题 3.3垂径定理（1） 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级（上） 学习 目标 ①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 重点 圆的轴对称性的重要体现——垂径定理． 难点 垂径定理的导出过程有一定难度，是本节教学的难点． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 1、 创设情景，引出课题 复习提问: 同学们都学过赵州桥，因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？ 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。 （２）正三角形是轴对称性图形吗？有几条对称轴？ 是，3 （３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？ 结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条. 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）× 思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径． (1)该图是轴对称图形吗？ ( O C D A B E )(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？ 请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？ 点C与点D重合，CP与DP重合， ＝，＝． 你能将你的发现归纳成一般结论吗？ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明 已知CD是直径，CD⊥AB， 求证：CD平分AB，CD平分和 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC和弧BC,弧AD与弧BD重合． 二、提炼概念 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧. 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE,弧AC =弧BC,弧AD =弧BD 条件：直径垂直于弦 结论：直径平分弦，直径平分弦所对的弧 垂径定理的几个基本图形 思考 自议 通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； 理解圆的对称性，利用对称性理解垂径定理； 讲授新课 三、典例精讲 例1、已知,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点. 作法: 1. 连结AB; 2. 作AB的垂直平分线CD,交弧AB与点E; ∴点E就是所求弧AB的中点. 例2、一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离. 解: 作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=AB/2=0.5×16=8 由勾股定理得: 答: 截面圆心O到水面的距离为6. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距. 归纳：1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线； 2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 遇到与弦有关的问题往往要过圆心作垂直于弦的直径． 在运用垂径定理求有关线段长度时有时需要分类讨论． 课堂检测 4、 巩固训练 1.如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ） ( ． A B C O D E ) ( ⌒ ) ( ⌒ )A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC 答案：C 2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 ( ． O A B C r d ) C．3<OM<5 D．4<OM<5 答案：A 3.已知圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则两弦AB，CD的距离是 (　 　) A．7 cm　　　　　　B．17 cm C．12 cm D．7 cm或17 cm 【解析】(1)当圆心O在AB，CD同一侧时，如图(1)