3.5圆周角（2）课件2023-2024学年数学浙教版九年级上册

浙教版 九年级上册 3.5圆周角 （2） 1 1．运用圆周角定理的推论进行计算； 2．掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算 学习目标 新知导入 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.   ∠B=∠D=∠E 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． A B C D E F 若AB=CD，那么∠E=∠F吗？ O B A C D E 问题 如左图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么? 圆周角定理的推论： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等. 用于找相等的角 用于找相等的弧 A D C O B 2 3 1 做一做 如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上.找出图中分别与∠1，∠2，∠3相等的角. 解：∠1=∠DBA ∠2=∠CAB ∠3=∠CBD 新知讲解 例2 已知: 如图，三角形ABC内接于圆, ∠ACB=2∠ABC,点D平分弧AB. 求证: AC=BD. A B C D 证明: 连接CD （同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等） ∴ ∠ABC=∠BCD （同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等） ∵ AD=BD ( ( ∴ AC=BD ( ( ∴ AC=BD A B C D 例3 如图 ，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝ 50°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？ 分析 由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎 样避开暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角 （∠ASB）去考虑.船与暗礁区的相对位置可以通过 ∠ASB与∠ACB的大小关系来确定,请你自己写出求解过程. 解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区． 所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°． 试一试：如图，AB是圆的一条弦，M是圆上一点，P是圆内一点，Q是圆外一点，点P，Q，M在直线AB同一侧。 求证：(1) ∠APB>∠AMB (2) ∠AQB<∠AMB 总结：某一条弦所在直线同侧的圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角. 证明：(1)∵∠AP’B=∠AMB ∠AP’B<∠APB ∴ ∠APB> ∠AMB (2)∵∠AQ’B=∠AMB ∠AP’B>∠AQB ∴ ∠AQB<∠AMB 课堂练习 1．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O 的直径为 (　 　) D 【点悟】 “作直径，造直角”，把一般三角形转化为直角三角形是解题常用的方法． 2.一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°,则这个人工湖的直为 . A B C O 3.如图所示，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是弦，且DF＝BE， 求证：∠D＝∠B. 方法四：如图(3)所示，过O点作OM⊥FD于M，ON⊥BE于N. ∵DF＝BE，∴OM＝ON.∵OD＝OB，∴Rt△OMD≌Rt△ONB.∴∠D＝∠B. 【点悟】 利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，从不同的角度加以证明，同时用直径所对的圆周角是直角的推论，添加常用辅助线构建三角形全等，使问题得到解决． 4.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:BC=CD． 证明：∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠ABD=∠CBD． 又∵ AB∥CD， ∴ ∠ABD=∠BDC， ∴ ∠CBD=∠BDC， ∴ BC=CD． A B C D O 课堂小结 1．圆周角定理的另一推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的__________相等；相等的圆周角所对的______也相等． 2．圆内角、圆外角与圆周角的关系 点在圆内：点位于弦所在直线的同侧的前提下，当点到弦的两端的张角_________弦所对的圆周角时，点在_________，即当∠AC1B>∠ACB时，点C1在圆内． 圆周角 弧 大于 圆内 $