3.2.2双曲线的简单几何性质同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一

3.2.2 双曲线的简单几何性质同步练习 一、单选题 1．双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线与双曲线有相同的焦点.则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 5．以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点，则的焦距为（    ） A．4 B． C．6 D．8 6．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点､，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是（    ） A．离心率为 B．双曲线过点 C．渐近线方程为 D．实轴长为4 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，P为C上一点，则（    ） A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的一条渐近线方程为 C． D．双曲线C的焦距为4 11．圆与双曲线交于，，，四点，则（    ） A．的取值范围是 B．若，矩形的面积为 C．若，矩形的对角线所在直线是的渐近线 D．存在，使四边形为正方形 12．已知等轴双曲线的左、右焦点分别为，，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．直线MP与直线MQ的斜率之积为定值 C．四边形OPMQ面积的最大值为（O为坐标原点） D． 三、填空题 13．双曲线的渐近线方程为 . 14．若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为 15．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ． 16．双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为，，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题 17．已知双曲线的左､右焦点分别为，. (1)若点A的坐标是，且的面积为，求双曲线C的渐近线方程； (2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且（O为原点），求双曲线C的离心率. 18．已知双曲线 （1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； （2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围． 19．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）过点(2，0)，与双曲线离心率相等. 20．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，且经过点和点的椭圆的标准方程； (2)焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程 21．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播） (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ 22．过双曲线（常数）上任意一点A作轴，交y轴于点E，作轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S＝k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线，并证明你的推广． 参考答案 1--8CACCC DDA 9．ABC 10．ABD 11．BD 12．BD 13． 14． 15． 16． 17．（1）因为，的面积为， 所以， 即， 所以， 解得或（舍去）， 所以， 所以双曲线C的渐近线方程是. （2）因为以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，如图， ，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以，则， 所以，，， 所以，， 所以双曲线C的离心率为2. 18．（1）当时， 双曲线方程化为， 所以，，， 所以焦点坐标为，，顶点坐标为，， 渐近线方程为. （2）因为， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是． 19．解：(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0，b>0)，由题意知2b=8，e=， 从而b=4，c=a， 代入c2=a2+b2，得a2=9，