第9讲 实际问题与二次函数 2023年人教版数学八年级升九年级暑假预习讲义

第9讲 实际问题与二次函数 【教学目标】： 会分析实际问题中包含的数量关系，从中抽象出二次函数的模型，利用二次函数的性质或图象解决问题。 【教学重难点】： 分析题意，正确列式解题。 【知识梳理】 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤：（1）审题意；（2）设未知量；（3）列解析式；（4）解答实际问题；（5）验证结果是否符合实际。 2. 求二次函数最值： （1） 将解析式写成的形式，当时，有最大（小）值________； （2） 若对抛物线使用配方法，则当时，有最大（小）值_________. 【考点解析】 考点一 图形面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出函数关系式求解. 【例1】 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住，设绿化带的BC边长为m，绿化带的面积为m²。 （1） 求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2） 当为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 针对练习1 1. 如图所示，用长为8 m的木板围建一个一边靠墙的矩形养鸡场，则养鸡场的最大面积为________m2． 2. 要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大? 3. 用长为8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗户，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是多少？ 4. 如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为m，面积为Sm2． （1）求S与的函数关系式； （2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米? （3）能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能请说明理由． 考点二 最大利润问题 【例1】 某网站销售某款童装，若每件售价60元，则每星期可卖300件。为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件。已知该款童装每件成本为40元。设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件。 （1） 求与之间的函数关系式。 （2） 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3） 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，则每星期的销售量的范围是多少？ 针对练习2 1. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 2. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价 (元)满足一次函数：m＝162-3． （1）写出商场卖出这种商品每天的销售利润与每件的销售价之间的函数关系； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少? 3. 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 4. 某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为元/个. （1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含的式子表示）； （2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价（元/个）之间的函数关系式； （3）当取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 考点三 建立适当坐标系解决实际问题 【例1】 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？ 请按下面提供的方法画图建立坐标系，求出函数解析式并解决问题。 方法一：以水面所在直线为轴，水面的中点为原点建立直角坐标系。 方法二：以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立直角坐标系。 方法三：以抛物线与水面的左侧交点为原点，水面所在直线为轴建立直角坐标系。