第3讲 实际问题与一元二次方程（一） 2023年人教版数学八年级升九年级暑假预习讲义

第3讲 实际问题与一元二次方程（一） 【教学目标】： 1. 掌握平均变化率、传播性、握手问题。 2. 掌握利润问题。 【教学重难点】： 一元二次方程的构建与应用; 【课前小测】 1. 若方程+5=4是一元二次方程，则=_________ 2. 方程的根是_________ 3. 若，则方程必有一个根是_________ 4. 已知+3+5=9，则+9-2=_________ 5. 若方程+8-4=0的两根为、则+= _________ 6. 一个三角形的两边长为2和4，第三边长是方程2-10+12=0的解，则三角形的周长为 _________ 7. 若一元二次方程-2=0的两根是、那么=_________ 8. 一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【考点解析】 考点一 平均变化率问题 问题1 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 分析: 1 设甲种药品成本的年平均下降率为，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________。 依题意，得________________，解得___________ 根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为___________. 2 设乙种药品成本的年平均下降率为，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________。 依题意，得________________，解得___________ 答:两种药品成本的年平均下降率_________。 归纳总结： 列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1) 增长率问题：平均增长率公式为 (为原来数，为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2) 降低率问题：平均降低率公式为 (为原来数，为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 【例1】 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2 （1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：） （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由。 针对练习1 1. 为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ） A． 9% B．10% C．11% D．12% 2. 某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率. 考点二 传播性问题 1. 病毒的传播；设每轮传染中平均一个人传染了人 开始： 1人 人 一轮后：（+1）人 （+）人 两轮后：（+1）+(+1)人 （+）+(+)人 N轮后： 2. 握手及单循环球赛；设总共人（队），则每人（队）共握手(赛球)：(-1)次，因为每两人（队）会重复一次，所以总次数为：(-1)÷2 3. 送礼物及双循环球赛；设总共人（队），则每人（队）共握手(赛球)：(-1)次， 所以总次数为：(-1) 【例1】 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台? 【例2】 （1）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手66次，有多少人参加聚会 （2）要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? （3）初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片，有多少人? 针对练习2 1. 某次球赛共有个队参加，每两个队之间打一场比赛，共打了场，则根据题意可列出的方程是( ) A B C D 2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人